Binomische Formeln Hoch 3, 4, 5

Mit den Binomischen Formeln mit höheren Potenzen befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei werden auch Beispiele vorgerechnet. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Spricht man von den Binomischen Formeln so denken die meisten an die drei "normalen" Binomischen Formeln mit der Hochzahl 2. Wer danach sucht der findet diese bereits im Artikel Binomische Formeln. Hier sehen wir uns nun andere Hochzahlen an. Es geht somit um die Binomische Formeln Hoch 3, 4, 5 etc.

Erklärung als Video:
Dieses Thema liegt auch als Video vor. In diesem werden typische Aufgabenstellungen, Beispiele und Herleitungen vorgestellt. Per Button kann auch in den Vollbildmodus gewechselt werden. Das Video ist auch direkt in der Sektion Binomische Formeln: Höhere Potenzen Video aufrufbar. Bei Abspielproblemen hilft der Artikel Video Probleme.

Binomische Formeln Hoch 3

Beginnen wir mit den Binomischen Formeln wenn der Exponent 3 ist. Zunächst gibt es den kompletten mathematischen Zusammenhang. Danach geht es an die Herleitung und dann sehen wir uns Beispiele an.

• ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Herleitung:

Zunächst schreiben wir das Ganze ausführlich hin. Dann multiplizieren wir ( a + b ) · ( a + b ) aus und erhalten a² + 2ab + b². So wie wir das von den "normalen" Binomischen Formeln schon kenne. Und dieses Ergebnis multiplizieren wir dann mit ( a + b ). Es folgen die einzelnen Schritte:

• ( a + b )³ = ( a + b ) · ( a + b ) · ( a + b )
• ( a + b )³ = ( a + b ) · ( a² + ab + ba + b² )
• ( a + b )³ = ( a + b ) · ( a² + 2ab + b² )
• ( a + b )³ = a · a² + a · 2ab + a · b² + b · a² + b · 2ab + b · b²
• ( a + b )³ = a³ + 3ab² + 3a²b + b³

Beispiel :

• ( 3 + 5 )³ = ?
• ( 3 + 5 )³ =3³ + 3 · 3 · 5² + 3 · 3² · 5 + 5³
• ( 3 + 5 )³ = 512

Weiterer Zusammenhang:

• ( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Binomische Formeln Hoch 4 und 5

Sehen wir uns als nächstes die Ausmultiplikationen für die Potenzen 4 und 5 der Binomischen Formeln an.

• ( a + b )⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
• ( a + b )⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b ⁵

• ( a - b )⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² -4ab³ + b⁴
• ( a - b )⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10a³b² -10a²b³ +5ab⁴ -b⁵

Beispiele für Herleitungen:

Bei den Herleitungen nutzte ich die Ergebnisse für die Potenz 3 um die Potenz 4 zu berechnen. Und im Anschluss verwenden wir dieses Ergebnis wieder um die Potenz 5 zu berechnen. Auf diese Art und Weise kann man auch noch höhere Potenten sowie Differenzen herleiten.

• ( a + b )⁴ = ( a + b ) · ( a³ + 3ab² + 3a²b + b³ )
• ( a + b )⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

• ( a + b )⁵ = ( a + b ) · ( a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ )
• ( a + b )⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b ⁵

Beispiel:

• ( 2 + 3 )⁴ = 2⁴ + 4 · 2³ · 3 + 6 · 2² · 3² + 4 · 2 · 3³ + 3⁴
• ( 2 + 3 )⁴ = 625

Links:

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