Biquadratische Gleichung

Mit der biquadratischen Gleichung befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, was eine biquadratische Gleichung ist und wie man diese löst. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Um diesen Artikel gut verstehen zu können, sind leider einige Vorkenntnisse notwendig. All diejenigen, welchen die folgenden Themen noch nichts sagen, mögen diese bitte erst einmal kurz nachlesen. Dieses Wissen wird im nun folgenden Abschnitt benötigt:

• Gleichungen
• PQ Formel

Biquadratische Gleichung lösen

Bevor wir mit dem Lösen einer biquadratischen Gleichung starten, solltet ihr überhaupt erst einmal wissen, was eine biquadratische Gleichung ist. Unter einer biquadratischen Gleichung versteht man eine Gleichung in der Form:  x⁴ + px² + q = 0. Zum besseren Verständnis ein paar Beispiele:

• x⁴ + 2x² + 3 = 0
• x⁴ + 5x² + 2 = 0
• x⁴ + 2x² = 0

Um diese Gleichungen zu lösen, bedient man sich eines kleinen "Tricks". Durch eine so genannte Substitution können wir im Anschluss die PQ-Formel anwenden. Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Dies wird üblicherweise angewandt um den Ausdruck, der den Term enthält, zu vereinfachen. Für unsere biquadratische Gleichung bedeutet dies, dass wir x² = z setzen. Im Anschluss können wir wie gewohnt die PQ Formel ansetzen, um dann eine quadratische Gleichung zu lösen. Am Ende müssen wir eine Rücksubstitution durchführen.

Beispiel ( Erläuterung unterhalb ):

Für die Startgleichung führen wir die Substitution z = x² durch. Anschließend wenden wir die PQ-Formel an und erhalten zwei Lösungen ( z₁ = 4 und z₂ = 3 ). Die Substitution z = x² muss nun noch rückgängig gemacht werden.

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