Ebenen: Punkte / Parameterform

Was eine Ebene ist und wie man diese durch Punkte und Vektoren beschreibt, behandeln wir in diesem Artikel der Mathematik. Dazu liefern wir euch eine Reihe grundlegender Informationen sowie einige Beispiele zum besseren Verständnis.

Manchmal ist es interessant, nicht nur eine Gerade in der Ebene oder im Raum darzustellen, sondern ganze Ebenen mathematisch zu beschreiben. Um dies zu schaffen, nutzt man Wissen aus der Geometrie und aus der Vektorrechnung. Genau damit befassen wir uns in diesem Artikel. Zuvor solltet ihr jedoch kurz nachprüfen, ob euch die folgenden Themen schon etwas sagen. Wenn nicht, lest diese bitte nach, denn die darin enthaltenen Informationen sind grundlegend für das weitere Verständnis.

• Ebener Vektor und räumlicher Vektor
• Vektorrechnung: Addition, Subtraktion, Skalarprodukt

Punkt-Richtungs-Form einer Ebene

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Ebene mathematisch zu beschreiben. In diesem Abschnitt möchten wir euch die Punkt-Richtungs-Form einer Ebene zeigen. Diese beinhaltet einen Punkt dieser Ebene sowie zwei Richtungsvektoren. Die folgende Grafik zeigt euch, wie so etwas aussehen kann. Zu sehen ist ein Punkt "P" in der linken, unteren Ecke sowie zwei Vektoren, die von diesem "wegzeigen". Mit diesen Informationen lässt sich eine Ebene ( im Raum ) beschreiben.

Kommen wir zur mathematischen Beschreibung. Diese wollen wir zunächst allgemein zeigen. Die im Anschluss folgenden Beispiele dürften jedoch für mehr Verständnis sorgen.

Beispiel:

Eine Ebene verläuft durch den Punkt ( 1; 3; 4 ) und hat die Richtungsvektoren r = ( 2; 5; 1 ) und s = ( 5; 1; 0 ). Die Gleichung dieser Ebene soll nun in Parameterform ermittelt werden.

Drei-Punkte-Form

Im letzten Abschnitt haben wir eine Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren beschrieben. Da liegt die Vermutung doch nahe, dass man eine Ebene einfach durch drei Punkte beschreiben kann. Und dem ist auch so. In der Mathematik wird die folgende Form als "Vektorielle Drei-Punkte-Form einer Ebene" bezeichnet. Diese sieht allgemein wie folgt aus.

Beispiel:

Gegeben seien die drei Punkte P₁ = ( 1; 5; 0 ), P₂ = ( -2; -1; 2 ) und P₃ = ( 1; 2; 3 ). Wie lautet die Gleichung der Ebene?

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