Mengen und Elemente

Mengen und Elemente gehören zu den Grundlagen der Mathematik. In diesem Zusammenhang gehen wir auch auf die Mengendarstellung, Teilmengen, Vereinigungsmengen etc. ein. Was es mit diesen Begriffen auf sich hat, behandeln wir in diesem Artikel.

Nicht nur im realen Leben, sondern auch in der Mathematik versucht man, Dinge in Kategorien einzutragen. Aus diesem Grund hat man in der Mathematik den Begriff der Mengen eingeführt. So gehören zum Beispiel die Zahlen 1, 2, 3, 4 etc. zur Menge der natürlichen Zahlen.

Darstellung von Mengen

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel an: Das Objekt x gehört zur Menge M. Mathematisch gesehen schreibt man dies so: xεM. Gehört ein Objekt nicht zu einer Menge, wir das Element-Zeichen ε in der Mitte einfach durchgestrichen. Im nun Folgenden werden vier Zahlen einer Menge zugewiesen: M = {1, 2, 3, 4}. Die Zahlen, welche zu einer Menge gehören, werden somit in geschweifte Klammern geschrieben. Eine grafische Lösung existiert ebenfalls für dieses Beispiel und sieht wie folgt aus:

Einige weitere Beispiele sollen das Prinzip der Mengen weiter verdeutlichen:

• Die Menge der natürlichen Zahlen: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
• M1 = { x|x ist eine reelle Zahl und Lösung der Gleichung x² = 1} = {-1, 1}
• M2 = { x|x ist eine natürliche Zahl mit -2 < x ≤ 4 } = {0, 1, 2, 3, 4}

Weitere Begriffe

Rund um Mengen wurden eine Reihe an Begriffen eingeführt, auf die wir euch nun aufmerksam machen möchten.

• Leere Mengen: Die leere Menge enthält kein Element, auch nicht die Null.
  • M = { }

• Gleichheit von Mengen: Man nennt zwei Mengen A und B gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und jedes Element von B auch Element von A ist.
  • A = B

• Mächtigkeit von Mengen: Zwei Mengen X und Y sind gleichmächtig, wenn es eine eindeutige Abbildung der Elemente aus X auf die Elemente von Y gibt, also wenn jedem Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet werden kann.
  • Endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn sie die gleiche Anzahl an Elementen besitzen

• Teilmenge: Die Menge A ist Teilemenge der Menge B, wenn jedes Element von A zugleich in B enthalten ist. B heißt dann Obermenge von A.
  • Schreibweise:
  • Beispiel: A sei die Menge aller Schüler der sechsten Klasse. B sei die Menge aller Schüler dieser Schule. Somit ist jedes Element von A auch ein Element von B.

• Echte Teilmenge: Ist jedes Element von A zugleich in B enthalten und gibt es in B mindestens ein Element, welches nicht in A enthalten ist, dann ist A echte Teilmenge von B.

• Elementfremde (disjunkte) Mengen: Zwei Mengen X und Y sind disjunkt (elementfremd), wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.
  • Beispiel: Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null und die Menge der negativen Zahlen sind elementfremd.

Mengenoperationen

Als Mengenoperation wird die Verknüpfung zweier Mengen bezeichnet. Aus den Elementen der Ausgangsmengen wird dabei eine neue Menge gebildet. Auch hier sind wieder mehrere mathematische Begriffe definiert worden:

• Vereinigungsmenge: Fasst man die Elemente von zwei Mengen zusammen, erhält man die Vereinigungsmenge.
  • Beispiel: Die Menge A = {1, 2, 3, 4} und die Menge B = {1, 5, 6, 7} werden vereinigt und als Menge C bezeichnet. Diese sieht dann wie folgt aus: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

• Schnittmenge: Zu einer Schnittmenge gehören alle Elemente, die in beiden Mengen vorhanden sind.
  • Beispiel: Zu den Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4, 6, 7} wird die Schnittmenge C gebildet. Diese sieht wie folgt aus: C = {2, 4}

• Differenzmenge: Die Differenzmenge (Restmenge) A\B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B gehören.
  • Beispiel: Wir haben die Mengen A = {1, 5, 7, 10} und B ={0, 1, 7, 15} und bilden die Differenzmenge A\B = {5, 10}

Links:

• Übungen: Mengen und Elemente
• Zur Mathematik Übersicht