Punkt vor Strich und Klammer-Rechnung

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit zwei ganz wichtigen Regeln der Mathematik: Der Punkt- vor Strich Rechnung sowie dem Setzen von Klammern. Was es damit auf sich hat und wie es funktioniert, sollte euch nach dem Lesen des Artikels klar sein. Dazu gibt es Übungsaufgaben / Klausuraufgaben inklusive Lösungen.

Es ist wichtig beim Bearbeiten von Aufgaben, in welcher Reihenfolge man die Berechnungen durchführt. Um dies festzulegen, haben Mathematiker zwei Regeln definiert: Die Punkt- vor Strichrechnung sowie das Setzen von Klammern.

Diese beiden Regeln legen fest, in welcher Reihenfolge Rechenschritte durchgeführt werden. Im nun Folgenden wollen wir uns diese beiden Regeln einmal genauer ansehen. Dazu gibt es natürlich auch wieder Erklärungen, Beispiele sowie Übungsaufgaben samt Lösungen.

Punkt- vor Strichrechnung

Beginnen wir mit der Punkt- vor Strichrechnung. Diese Regel besagt: Erst Multiplikation und Division rechnen und danach erst Addition oder Subtraktion. Anhand eines Beispiels wird nun gezeigt, wie diese Regel anzuwenden ist (und wie man es falsch macht).

• a) 5 + 2 · 4 = 5 + 8 = 13 (richtige Lösung)
• b) 5 + 2 · 4 = 7 · 4 = 28 (falsche Lösung)

Erklärung: In beiden Fällen wird das Ergebnis der Aufgabe 5 + 2 · 4 gesucht. Im Fall a) wurde die Aufgabe richtig gelöst. Dazu wurde erst die Multiplikation berechnet. 2 · 4 = 8. Anschließend wurde 5 + 8 = 13 gerechnet. Wie man sehen kann: Erst wurde die Multiplikation ausgeführt. Anschließend wurden die beiden Zahlen addiert. Im Fall b) wurde falsch gerechnet: Hier wurde erst addiert und dann multipliziert. Das Ergebnis wird dadurch falsch berechnet.

Noch eine kleine Anmerkung: Links des "=" muss immer das selbe stehen wie rechts des "=". Wenn ihr so rechnet, wie bei den Beispielen dies gezeigt wird, passiert das automatisch bei euch. Ich erwähne dies nur, weil in einem späteren Kapitel - den sogenannten Gleichungen mit Unbekannten - dies noch genauer besprochen wird. Zu diesem Zeitpunkt solltet ihr jedoch einfach versuchen den Beispielen hier zu folgen und das Konzept in den Übungsaufgaben selbst anzuwenden.

Geht das Beispiel von eben noch einmal durch. Anschließend folgen noch eine Reihe weiterer Beispiele. Schaut euch jedes genau an und versucht die Berechnung zu verfolgen. Und auch hier gilt: Erst Multiplikation oder Division, danach Addition oder Subtraktion.

• Aufgabe: 8 · 3 + 2 = ?
• Lösung: 8 · 3 + 2 = 24 + 2 = 26

• Aufgabe: 2 + 3 · 4 = ?
• Lösung: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

• Aufgabe: 6 : 3 + 2 = ?
• Lösung: 6 : 3 + 2 = 2 + 2 = 4

• Aufgabe: 5 - 8 : 4 = ?
• Lösung: 5 - 8 : 4 = 5 - 2 = 3

• Aufgabe: 5 · 3 + 8 : 4 = ?
• Lösung: 5 · 3 + 8 : 4 = 15 + 2 = 17

Erläuterungen: In den ersten vier Beispielen wurde konsequent die Punkt- vor Strich Regel beachtet. Zuerst wurde multipliziert oder dividiert, danach dann addiert oder subtrahiert. Beim letzten Beispiel war sowohl eine Multiplikation, als auch eine Division durchzuführen. Dabei ist egal, was man zuerst rechnet. Nur die Addition muss wegen Punkt vor Strich am Ende berechnet werden. Heißt auf gut Deutsch: Erst 5 · 3 sowie 8 : 4 rechnen und danach die beiden Ergebnisse addieren.

Tipp: Nur durch üben wird man bei der Punkt- vor Strichrechnung sicher. Macht also auf alle Fälle die Übungsaufgaben zu diesem Kapitel (zu finden am Ende dieses Artikels).

Rechnen mit Klammern

Soeben haben wir die Punkt- vor Strichrechnung behandelt. Dabei gibt es jedoch einen kleinen Haken: Wie mache ich es, wenn bei einer Aufgabe doch erst einmal eine Addition ausgeführt werden soll, und danach eine Multiplikation? Die Antwort lautet: Eine Klammer setzen. Die mathematische Regel lautet dann ganz einfach "Eine Klammer wird zuerst berechnet". Um jetzt mit den ganzen Klammern, Punkt vor Strich etc. nicht durcheinander zu kommen, noch einmal ein kurzer Leitfaden:

• Wenn in einer Aufgabe vorhanden, wird zuerst die Klammer gerechnet
• Danach werden Multiplikation und Division gerechnet
• Als letztes Addition und Subtraktion

Versucht euch den Leitfaden von eben zu merken und dann die folgenden Beispiele zu verstehen:

• Aufgabe: (2 + 3) · 5 = ?
• Lösung: (2 + 3) · 5 = 5 · 5 = 25

• Aufgabe: 8 · (3 + 4) = ?
• Lösung: 8 · (3 + 4) = 8 · 7 = 56

• Aufgabe: 2 · (1 + 2) + 5 = ?
• Lösung: 2 · (1 + 2) + 5 = 2 · 3 + 5 = 6 + 5 = 11

• Aufgabe: 3 · (8 + 2) : 10 + 1 = ?
• Lösung: 3 · (8 + 2) : 10 + 1 = 3 · 10 : 10 + 1 = 30 : 10 + 1 = 3 + 1 = 4

Erklärungen: Gerade die beiden letzten Aufgaben sehen abschreckend aus. Aber fangen wir erst einmal bei den ersten beiden Aufgaben an: In beiden Fällen wurde zunächst die Klammer berechnet. Das Ergebnis wird dann mit der dahinter oder der davor stehenden Zahl multipliziert. Bei der dritten Aufgabe wird zuerst die Klammer berechnet, dann die Multiplikation und dann die Addition.

Kommen wir zur letzten Aufgabe: Auch hier wird zunächst die Klammer gerechnet. Mit dem Ergebnis der Klammer kann dann entweder als erstes multipliziert oder dividiert werden, das ist mathematisch egal. In meinem Rechenweg habe ich zunächst multipliziert, dann dividiert. Und zu guter Letzt addiert. Geht die Aufgabe noch einmal Stück für Stück durch, dann sollte euch das klarer werden.

Priorität bei Klammern / mehrere Klammern

Eine kleine Gemeinheit muss zu guter Letzt noch angesprochen werden: Was passiert bei mehreren Klammern und verschachtelten Klammern? Dazu zunächst zwei kleine Bespiele samt Lösungen. Danach folgt die Erklärung.

• Aufgabe: (5 + 3) + (1 + 2) = ?
• Lösung: (5 + 3) + (1 + 2) = 8 + 3 = 11

• Aufgabe: ((3 + 4) + 2) + 1 = ?
• Lösung: [( 3 + 4 ) + 2 ] + 1 = (7 + 2) + 1 = 10

Erklärung: Im ersten Beispiel finden sich zwei Klammern. Welche davon zuerst rechnet, ist vollkommen egal. Rechnet also beide einzeln aus und addiert dann die beiden Ergebnisse. Kommen wir zum zweiten Beispiel: Hier sind zwei Klammern ineinander verschachtelt. Die Rechenregel dabei ist ganz einfach: Immer zuerst die innere Klammer rechnen.

Zur besseren Übersicht mit den Klammern, sehen diese meist ein bisschen anders aus: Die innere Klammer wird meist mit "("und")" gekennzeichnet. Die äußere Klammer mit "["und"]". Und natürlich gilt wie immer: Um die Rechenregeln wirklich zu können, solltet Ihr die Übungsaufgaben bearbeiten.

Übungsaufgaben / Klausuraufgaben mit Lösungen

Sowohl die Punkt- vor Strich als auch die Klammerregel bedürfen einiger Übung, um sie richtig anwenden zu können. Aus diesem Grund haben wir für beide Themen eine Reihe an Übungsaufgaben und alten Klausuraufgaben zusammen gestellt.

Rechnet diese zunächst für euch selbst durch und schaut anschließend in unsere Musterlösung.

• Zu den Übungsaufgaben: Punkt vor Strich und Klammern
• Zurück zur Mathematik-Übersicht