Rechnen mit komplexen Zahlen

Das Rechnen mit komplexen Zahlen wird in diesem Artikel behandelt. Dabei werden die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division für komplexe Zahlen besprochen. Zusammen mit entsprechenden Beispielen. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Wir sehen uns hier nun das Rechnen mit komplexen Zahlen an. Dabei gehen wir Stück für Stück durch die Grundrechenarten. Hinweis: Es gibt zum Rechnen mit komplexen Zahlen auch passende Videos. Siehe hierzu komplexe Zahlen Addition Video, komplexe Zahlen Subtraktion Video, komplexe Zahlen Multiplikation Video und komplexe Zahlen Division Video.

Rechnen mit komplexen Zahlen: Addition

Starten wir mit dem Rechnen mit komplexen Zahlen. Los geht es mit der Addition. Dies geht so:

• Die Realteile werden addiert.
• Die Imaginärteile werden addiert.

Sehen wir uns Beispiele an, wie man komplexe Zahlen addieren kann. Hinweis: Den imaginären Anteil kennzeichnen wir hier mit "i", manchmal wird jedoch auch ein "j" verwendet. Macht für die Berechnung aber keinen Unterschied:

• (7 + 5i) + (3+ 3i) = 10 + 8i
• (3 + 2i) + (4 + 5i) = 7 + 7i
• (3 + 5i) + (-2 + 3i) = 1 + 8i
• (5 + 2i) + (3 + 2i) = 8 + 4i

Rechnen mit komplexen Zahlen: Subtraktion

Machen wir weiter mit dem Rechnen zu komplexen Zahlen. Es gilt für die Subtraktion:

• Der Realteil der 2. Zahl wird vom Realteil der 1. Zahl subtrahiert, also abgezogen.
• Der Imaginärteil der 2. Zahl wird vom Imaginärteil der 1. Zahl subtrahiert, also abgezogen.

Sehen wir uns Beispiele bzw. Aufgaben an, wie man komplexe Zahlen subtrahieren kann.

• (10 - 20i) - (7+ 3i) = 3 - 23i
• (7 - 5i) - (-3 + 3i) = 10 - 8i
• (2+i) - (2 + 3i) = 0 -2i = -2i

Rechnen mit komplexen Zahlen: Multiplikation

Weiter geht es mit der Multiplikation von komplexen Zahlen. Zunächst der allgemeine Zusammenhang, danach ein paar Beispiele.

Allgemeiner Zusammenhang:

• Es sei: z₁ = x₁ + iy₁ und z₂ = x₂ + iy₂
• z₁ · z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

Sehen wir uns zum besseren Verständnis ein paar Beispiele an.

Beispiel 1:

Berechnet werden soll (5 - 2i) multipliziert mit (3 + 4i). Hier zunächst die Rechnung, die Erklärungen folgen unterhalb.

Wir multiplizieren zunächst die Klammern aus, so wie man das aus der Schule bereits kennt. Im Anschluss fassen wir zusammen. Wir erhalten bei diesen Maßnahmen ein -8i². In den Grundlagen haben wir gelernt, dass i² = -1 ist. Setzen wir für i² nun -1 ein wird aus -8i² eine +8. Wir können dann noch einmal vereinfachen und erhalten 23 + 14i als Ergebnis.

Beispiel 2:

Und noch ein Beispiel: 2 - 4i wird mit -3 + 5i multipliziert. Auch hier zunächst die Rechnung und im Anschluss die Erklärung.

Die Vorgehensweise entspricht der aus dem 1. Beispiel. Auch hier multiplizieren wir zunächst aus und vereinfachen. Da auch hier i² = -1 gilt wird aus den -20i² wieder + 20. Im Anschluss wird dies wieder zusammengefasst zu 14 + 22i.

Rechnen mit komplexen Zahlen: Division

Kommen wir zur Division von komplexen Zahlen.

Allgemeiner Zusammenhang:

Es gibt zahlreiche Darstellung für die allgemeine Darstellung der Division von komplexen Zahlen. Also bitte nicht wundern, wenn eine andere Quelle dies anders darstellt. Im Anschluss sehen wir uns Beispiele an, diese zeigen dann, dass der Rechenweg fast mit bekannten Methoden aus der Schule durchzuführen ist.

Es gibt noch einen Punkt, den ich vor Beispielen ansprechen muss. Wir benötigen die so genannte konjugiert komplexe Zahl um die Division von komplexen Brüchen durchzuführen. Was heißt das? Nun, die konjugiert komplexe Zahl liegt spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Man erhält diese ganz einfach indem man das Vorzeichen vor dem imaginären Anteil umdreht.

Beispiele konjugiert komplexe Zahl:

• Die konjugiert komplexe Zahl zu 1 -2i lautet 1 + 2i.
• Die konjugiert komplexe Zahl zu 3 +4i lautet 3 - 4i.

Um die komplexe Zahlen Division durchzuführen werden wir den Bruch gleich konjugiert komplex erweitern. Daher diese zwei Beispiele.

Beispiel 1:

Berechnet werden soll 2 + i geteilt durch 1- 2i. Zunächst die Rechnung, im Anschluss die Erklärungen dazu.

Als ersten Schritt erweitern wir konjugiert komplex. Wie weiter oben beschrieben nehmen wir dabei den Nenner und tauschen das Vorzeichen. Aus 1 - 2i wird also 1 + 2i und dies multiplizieren wir mit Zähler und Nenner. Wir multiplizieren aus, so wie wir das vom Ausmultiplizieren von Klammern bereits aus der Schule kennen. Wer hier noch Probleme hat bitte den Artikel Klammern ausmultiplizieren lesen. Für den nächsten Schritt ist es wichtig zu wissen, dass i² = -1 ist. Dadurch wird aus +2i² nun -2 und aus -4i² wird +4. Wir fassen weiter zusammen und kürzen, die Lösung lautet 1i.

Beispiel 2:

Im zweiten Beispiel soll 2 + 3i geteilt durch 1 - 4i berechnet werden.

Auch hier erweitern wird zunächst konjugiert komplex. Da der Nenner 1 - 4i lautet, wäre dies somit 1 + 4i. Wir multiplizieren aus und verwenden erneut den Zusammenhang i² = -1. Im Anschluss vereinfachen wir und ändern die Darstellung noch.

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