Umkehrregel Ableitung + Beispiele

Mit der Umkehrregel befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei zeige ich durch Einsatz von Beispielen wie dies funktioniert. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Bevor wir an die Umkehrregel gehen solltet ihr überhaupt erst einmal wissen, was eine Umkehrfunktion überhaupt ist. Und natürlich wäre es sehr hilfreich einige gängige Regeln der Ableitung zu kennen. Sofern ihr Probleme mit dem folgenden Artikel zur Ableitung der Umkehrfunktion habt empfehle ich zunächst die folgenden Links zu lesen. Wer die Umkehrfunktion schon kennt und ableiten kann, der braucht das natürlich nicht.

• Umkehrfunktion
• Faktorregel + Summenregel

Die Umkehrregel

Anhand von zwei wirklich typischen Beispielen möchte ich euch gleich die Umkehrregel zeigen. Zunächst jedoch die allgemeine Gleichung für diese Vorhaben und einen Plan zur Vorgehensweise. Damit können wir uns dann Stück für Stück durch die Aufgaben arbeiten.

Umkehrregel Gleichung:

Liegt eine umkehrbare Funktion der Form y = f(x) vor und ist zugleich x = g(y) die nach x umgeformte Darstellung dieser Funktion dann gilt:

Der Nenner darf hier natürlich nicht Null werden.

Schrittweises Vorgehen:

1. Wir schreiben uns y = f(x) auf
2. Wir leiten f(x) ab und erhalten y' = f'(x)
3. Wir stellen f(x) nach x um
4. Wir setzen in die Gleichung f'(x) ein
5. Wir ersetzen den Ausdruck von f'(x) durch y
6. Wir vertauschen x und y

Umkehrfunktion ableiten Beispiele

Die eben gezeigte Gleichung sowie das schrittweite Vorgehen soll nun auf Beispiele angewendet werden. Zum besseren Verständnis schreibe ich vor jede Berechnung noch den jeweiligen Schritt aus  "schrittweises Vorgehen". Ich empfehle neben dem Betrachten der Website  auf einem Stück Papier noch einmal die Beispiele selbst mitzurechnen.

Beispiel 1:

Gegeben sei die Funktion y = f(x) = e^x. Gesucht ist nun die Ableitung der Umkehrfunktion. Diese soll durch Einsatz der Umkehrregel gefunden werden. Wir schreiben für den ersten Schritt die Aufgabe ab und leiten die Funktion für den zweiten Schritt ab. Da die Ableitung von e^x wieder e^x ist sollten hier keine Probleme auftreten. Im nächsten Schritt lösen wie y = e^x nach x auf. Dazu benötigen wir den natürlichen Logarithmus, den wir auf beide Seiten der Gleichung anwenden müssen. Dadurch bekommen wir x = ln(y).

Beim vierten Schritt setzen wir in die oben genannte Gleichung für f'(x) nun e^x ein, so wie wir dies im zweiten Schritt berechnet haben. Wir erhalten dadurch g'(y) = 1 durch e^x. Aus der Aufgabenbeschreibung wissen wir, dass y = e^x ist. Somit können wir in Schritt Nr. 5 für e^x nun einfach y einsetzen. Im letzten Schritt tauschen wir einfach noch y durch x aus und erhalten dadurch die Ableitung der Umkehrfunktion durch Einsatz der Umkehrregel. Das sieht dann also so aus:

Beispiel 2:

Wir haben nun die Funktion y = f(x) = tan x gegeben. Gesucht ist nun die Ableitung der Umkehrfunktion. Aus der Formelsammlung entnehmen wir die Ableitung zu f'(x) = tan²x + 1. Für den dritten Punkt stellen wir y = tan x nach x um und erhalten x = arctan(y). Mit den bisherigen Daten gehen wir bei Punkt 4 in die oben genannte Formel.  Für den Punkt 5.) muss man wissen, dass wir am Anfang y = tan x da stehen hatten und wir damit aus tan²x nun y² machen können. Im letzten Schritt tauschen wir y durch x aus.

Soweit zur Umkehrregel. Diese wir in manchen Bundesländern im Mathematik-Unterricht eingesetzt. In vielen Fällen lernt man sie jedoch erst in der Ausbildung oder im Studium bzw. Job kennen.

Links:

• Umkehrfunktion Aufgaben / Übungen
• Zur Mathematik-Übersicht