Winkel berechnen / Winkel rechnen

Mit dem Berechnen von Winkeln befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei werden auch entsprechende Formeln samt Beispiele genannt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik Mittelstufe.

Es gibt in der Mathematik zahlreiche Formeln um Winkel berechnen zu können. Es folgt nur eine Auflistung an Themen zum Winkel rechnen, welche wir im Anschluss näher behandeln und auch entsprechende Formeln und Beispiele nennen. Zu den Themen:

1. Die Winkelfunktionen sin, cos und tan
2. Sinussatz und Kosinussatz
3. Winkelsumme Dreieck und Viereck
4. Schnittwinkel berechnen

1. Winkelfunktionen sin, cos und tan

Mit den Winkelfunktionen kann man Winkel berechnen. Die Sinus-, Kosinus- und Tangens-Funktion zum Berechnen eines Winkels darf nur an einem rechtwinkligen Dreieck angewendet werden. Die folgende Grafik zeigt euch ein solches Dreieck. Im Anschluss gehen wir dann auf das Rechnen der Winkel ein:

Dies war ein Dreieck mit rechtem Winkel. An diesem Punkt müsst ihr euch nun ein paar Begriffe merken. Diese tauchen immer wieder bei der Berechnung auf. Zu dem sind ein paar Eigenschaften festzuhalten:

• Rechts, unten im Dreieck wurde ein rechter Winkel eingezeichnet
• Den Winkel links unten bezeichnen wir als α ( gesprochen: Alpha )
• Die Seite "a" wird als Gegenkathete bezeichnet, denn sie liegt gegenüber vom Winkel α
• Die Seite "b" wird als Ankathete bezeichnet, denn sie liegt am Winkel α
• Die Seite "c" wird als Hypotenuse bezeichnet

Sinus:

Die Bezeichnungen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse sollten euch bereits vom Satz des Pythagoras bekannt sein. Die erste Möglichkeit zur Berechnung des Winkels ist der Sinus. Es gilt der folgende mathematische Zusammenhang:

Hinweise:

• Für Alpha ( α ) wird ein Winkel in Grad eingesetzt, zum Beispiel 20 Grad oder 40 Grad.
• Die Längen für die Gegenkathete und Hypotenuse müssen in gleichen Einheiten eingesetzt werden, zum Beispiel alles in Meter einsetzen.
• Ihr müsst euren Taschenrechner auf DEG ( Degree ) einstellen, sonst bekommt ihr ein falsches Ergebnis raus.
• Wenn ihr den Winkel ausrechnen wollt, müsst ihr mit arcsin arbeiten ( Siehe Beispiele )

Beispiel 1 ( Sinus ):
Die Gegenkathete hat eine Länge von 3cm ( a = 3cm ) und die Hypotenuse hat eine Länge von 5cm ( c = 5cm ). Wie groß ist der Winkel α ( Alpha )?

Tabelle nach rechts scrollbar

Erläuterungen zur Rechnung: Setzt die Zahlen in die Sinus-Gleichung ein. Danach wird die Division auf der rechten Seite ausgerechnet. Ihr erhaltet sinα = 0.6 Grad. Nun kommt der interessante Teil: Um das sin weg zu bekommen, müsst ihr arcsin nutzen. In den Taschenrechner müsst Ihr also arcsin 0,6 eingeben. Es errechnet sich dadurch ein Winkel von 36,78 Grad ( sofern ihr euren Taschenrechner auf Degree stellt ).

Cosinus / Kosinus:

Nach dem Sinus kommen wir nun zum Cosinus / Kosinus. Die Formel sieht wie folgt aus:

Beispiel 2 ( Cosinus ):

Die Ankathete hat eine Länge von 3cm ( b = 3cm ) und die Hypotenuse hat eine Länge von 5cm ( c = 5cm ). Wie groß ist der Winkel α ( Alpha )?

Tabelle nach rechts scrollbar

Hinweis zur Rechnung mit dem Cosinus: Setzt die Zahlen in die Cosinus-Gleichung ein. Danach wird die Division auf der rechten Seite ausgerechnet. Ihr erhaltet cosα = 0.6 Grad. Nun kommt der interessante Teil: Um das cos weg zu bekommen, müsst ihr arccos nutzen. In den Taschenrechner müsst ihr also arccos 0,6 eingeben. Es errechnet sich dadurch ein Winkel von 53,13 Grad ( sofern ihr euren Taschenrechner auf Degree stellt ).

Tangens:

Nach Sinus und Kosinus geht es nun an die Tangens-Funktion. Auch hier zunächst erst einmal die Formel:

Beispiel 3 ( Tangens ):

Die Ankathete hat eine Länge von 3cm ( b = 3cm ) und die Gegenkathete hat eine Länge von 3cm ( a = 3cm ). Wie groß ist der Winkel α ( Alpha )?

Tabelle nach rechts scrollbar

Setzt die Zahlen in die Tangens-Gleichung ein. Danach wird die Division auf der rechten Seite ausgerechnet. Ihr erhaltet tanα = 1. Nun kommt der interessante Teil: Um das tan weg zu bekommen, müsst ihr arctan nutzen. In den Taschenrechner müsst ihr also arctan 1,0 eingeben. Es errechnet sich dadurch ein Winkel von 45 Grad ( sofern ihr euren Taschenrechner auf Degree stellt ).

2. Sinussatz und Kosinussatz

In der Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Die Formeln zum Sinussatz beziehen sich auf die folgende Grafik:

Sinussatz Formeln:

In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:

Häufig wird der Sinussatz auch als Verhältnisgleichung formuliert:

Beispiel:

Bekannt seien die Längen a = 5cm, b = 4cm und der Winkel α = 70 Grad. Der Winkel β soll berechnet werden.

Lösung: Wir entnehmen dem Text die Angaben und setzen diese in die Formel ein ( Erklärungen unterhalb ).

Wir stellen die Formel nach sin(β) um und setzen im Anschluss die Werte ein. Über den arcsin erhalten wie im Anschluss den Winkel.

In der Trigonometrie drückt der Kosinussatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel im Dreieck aus. Die Formeln zum Kosinussatz beziehen sich auf die folgende Grafik:

Kosinussatz Formeln:

In der Trigonometrie stellt der Kosinussatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel des Dreiecks her. Die Formel hierfür sieht wie folgt aus:

Beispiel:

Gegeben sei a = 11, b = 10 und c = 13. Berechnet werden soll der Winkel α. Im nun Folgenden seht ihr die Lösung zu dieser Aufgabe, Erklärungen folgen unterhalb:

Wir stellen die Formel zunächst so um, dass cos(α) auf einer Seite der Gleichung steht und alle anderen Angaben auf der anderen Seite. Danach setzen wir die Werte ein und berechnen die Angaben. Als Letztes muss der arccos angewendet werden, um den Winkel zu erhalten.

3. Winkelsumme Dreieck und Viereck

Beginnen wir mit einem Dreieck. Dieses hat drei Seiten und drei Winkel. Die folgende Grafik zeigt euch, wie ein Dreieck aussieht:

Für die Winkel ist folgendes interessant: Die Summe alle Winkel in einem Dreieck beträgt 180 Grad. Das heißt:

• α + β + γ = 180º

Beispiel: Ihr wisst, dass der Winkel Alpha 60 Grad ist und der Winkel Beta 90 Grad ist. Dann muss der Winkel Gamma 30 Grad sein, denn 60 Grad + 90 Grad + 30 Grad = 180 Grad.

Viereck:

Beginnen wir mit der Definition eines Vierecks: Eine ebene, von vier Strecken eingeschlossene Figur, heißt Viereck. Dabei bezeichnet man die vier Strecken als die Seiten des Vierecks. Liegen zwei Seiten aneinander, so haben sie einen gemeinsamen Eckpunkt. Diesen Eckpunkten werden meistens die groß geschriebenen Buchstaben A, B, C und D zugewiesen. Zu dem werden Winkel im mathematisch positivem Sinne in das Viereck eingezeichnet. Diese lauten α ( gesprochen: Alpha ), β ( gesprochen Beta ), γ ( gesprochen: Gamma ) und δ ( gesprochen: Delta ). Die Strecken, welche das Viereck bilden werden zu dem mit a, b,c und d bezeichnet.

Die folgende Grafik zeigt euch das Viereck:

Eigenschaften des Vierecks:

• Umfang: Als Umfang des Vierecks wird die Summe aller Streckenlängen bezeichnet.
  • Umfang = a + b + c + d

• Winkelsumme: Addiert man die Summe aller Innenwinkel - siehe Grafik oben - erhält man 360 Grad, wie bei einem Kreis
  • Winkelsumme = 360º =α + β + γ + δ

• Information: Ein Viereck hat vier Ecken, vier Innenwinkel und vier begrenzende Strecken.

4. Schnittwinkel berechnen

Auch in der Vektorrechnung geht es um das Rechnen mit Winkeln. Im nun Folgenden sehen wir uns an, wie man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden und den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebenen berechnet.

Schnittwinkel zwei Geraden:

Es mag den meisten völlig logisch erscheinen, der Vollständigkeit halber muss man jedoch eine Bedingung für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden angeben: Die beiden Geraden müssen sich überhaupt schneiden. Wenn wir zwei Geraden im Raum haben, die sich nirgends schneiden, ist es schwachsinnig, für diese einen Schnittwinkel zu berechnen. Sofern in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben ist, dass sich zwei Geraden schneiden, könnt ihr dies selbst prüfen ( Siehe dazu unser Artikel Schnittpunkt zweier Geraden ).

Ist nun sicher gestellt, dass es einen Schnittpunkt gibt, kann man nun mit der Berechnung des Schnittwinkels beginnen. Dazu als erstes eine kleine Grafik, gefolgt von der Formel zur Berechnung des Winkels:

Formel zur Berechnung des Schnittwinkels:

Der Schnittwinkel φ der Geraden g₁ und g₂ mit ihren jeweiligen Richtungsvektoren wird wie folgt berechnet:

Wichtig: Bevor ihr den arccos anwendet, solltet ihr den Taschenrechner auf DEG bzw. DEGREE stellen.

Beispiel:

Im nun Folgenden soll der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnet werden. Anmerkung: In unserem Artikel Schnittpunkt zweier Geraden wurde bereits nachgewiesen, dass sich die beiden Geraden überhaupt schneiden.

Schnittwinkel: Gerade zu Ebene

In diesem Abschnitt sollt ihr lernen, wie man den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebenen berechnet. Dazu liefern wir euch zunächst die allgemeine Formel sowie ein Beispiel zum besseren Verständnis.

Formel: Schnittwinkel Gerade zu Ebene

Hinweis: Die Berechnung lässt sich besonders einfach durchführen, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist. Sofern nötig, könnt ihr aber auch eine Ebene umwandeln. Siehe Parametergleichung in Koordinatengleichung wandeln.

Beispiel:

Gegeben sei eine Ebene E und eine Gerade g. Der Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Gerade soll berechnet werden.

Lösung: Wir entnehmen der Ebene den Normalenvektor und setzen im Anschluss alle benötigen Angaben in die Gleichung zur Berechnung des Winkels ein.

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