Ableitung e-Funktion

Mit der Ableitung einer E-Funktion befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch die Ableitungsregel um dies zu tun und liefern euch eine Reihe an Beispielen. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Im Internet werden E-Funktionen verschieden dargestellt bzw. geschrieben. In vielen Foren finden sich so zum Beispiel Einträge wie "Ableitung E 2, Ableitung E Funktionen, Ableitung E Hoch x, Ableitung e 2 x etc. Zu besseren Übersicht verwenden wir hier jedoch Latex zur Darstellung. Zunächst werfen wir jedoch einen Blick auf die Kettenregel, die zur Ableitung einer E-Funktion benötigt wird.

Ableitung E-Funktion durch Kettenregel

Mit den bisherigen Ableitungsregeln ( Summenregel, Faktorregel etc. ) ist es möglich, einfache Funktionen abzuleiten. Problematisch wird es jedoch, wenn zusammengesetzte oder gar verschachtelte Funktionen abgeleitet werden müssen.  Um Funktionen wie zum Beispiel y = e^4x abzuleiten, muss die Kettenregel eingesetzt werden. Man greift dabei auf eine so genannte Substitution zurück. Was genau es damit auf sich hat, erkläre ich euch noch. Zunächst jedoch ein kleiner Merksatz.

Kettenregel: Die Ableitung einer zusammengesetzten ( verketteten ) Funktion erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung.

Viele Schüler haben zu Beginn größere Schwierigkeiten diese Regel anzuwenden. Grund: Es gehört etwas Erfahrung dazu, um zu sehen, dass die Kettenregel überhaupt angewendet werden muss. Im nun Folgenden stelle ich euch einige typische Beispiele vor, bei der durch Anwendung der Kettenregel die Ableitung einer E-Funktion gebildet wird. Dabei wird zunächst der Rechenweg gezeigt, darunter finden sich Erläuterungen.

Beispiel 1: y = e^x

• y' = e^x

Einfach zu merken: Die Ableitung von e^x ist e^x. Die Kettenregel wird hier noch nicht benötigt.

Beispiel 2: y = e^2x

• Substitution: u = 2x
• Äußere Funktion = e^u
• Äußere Ableitung = e^u
• Innere Funktion = 2x
• Innere Ableitung = 2
• y' = e^u · 2
• y' = e^2x · 2

In diesem Fall wird der Exponent der E-Funktion substituiert. Anschließend werden wieder innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet. Wie immer erfolgt dann die Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung , gefolgt von der Rücksubstitution.

Beispiel 3: y = e^{4x + 2}

• Substitution: u = 4x + 2
• Äußere Funktion = e^u
• Äußere Ableitung = e^u
• Innere Funktion = 4x + 2
• Innere Ableitung = 4
• y' = e^u · 4
• y' = e^{4x + 2} · 4

In diesem Fall wird der Exponent substituiert. Anschließend werden wieder innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet. Wie immer erfolgt dann die Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung, gefolgt von der Rücksubstitution.

Beispiel 4: y = e^x · x⁵

• y' = e^x · x⁵ + 5x⁴ · e^x

Mit Produkt- und Kettenregel wird die Funktion abgeleitet.

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