Ableitung: Kettenregel

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit dem Ableiten von Funktionen. Dabei zeigen wir euch, wie die Ableitungsregel "Kettenregel"  angewendet werden müssen.

Bevor wir mit der Kettenregel loslegen, rate ich euch, die vorhergehenden Artikel zur Ableitung zu lesen. Dort wird Grundlagenwissen vermittelt. Wer sich in diesen Bereichen bereits auskennt, kann gleich mit der Ableitungsregel zu Ketten im nächsten Absatz starten:

• Ableitung: Grundlagen und Steigung
• Ableitung: Faktorregel und Summenregel
• Ableitung: Produktregel und Quotientenregel

Kettenregel einsetzen

Mit den bisherigen Ableitungsregeln ist es möglich, einfache Funktionen abzuleiten. Problematisch wird es jedoch, wenn zusammengesetzte oder gar verschachtelte Funktionen abgeleitet werden müssen.  Um Funktionen wie zum Beispiel y = sin ( 5x - 8 ) oder y = e^4x abzuleiten, muss die Kettenregel eingesetzt werden. Man greift dabei auf eine so genannte Substitution zurück. Was genau es damit auf sich hat, erkläre ich euch noch. Zunächst jedoch ein kleiner Merksatz.

Kettenregel: Die Ableitung einer zusammengesetzten ( verketteten ) Funktion erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung.

Viele Schüler haben zu Beginn größere Schwierigkeiten diese Regel anzuwenden. Grund: Es gehört etwas Erfahrung dazu, um zu sehen, dass die Kettenregel überhaupt angewendet werden muss. Im nun Folgenden stelle ich euch einige typische Beispiele vor, bei der durch Anwendung der Kettenregel die Ableitung gebildet wird. Dabei wird zunächst der Rechenweg gezeigt, darunter finden sich Erläuterungen.

Beispiel 1: y = ( 3x - 2 )⁸

• Substitution: u = 3x - 2
• Äußere Funktion = u⁸
• Äußere Ableitung = 8u⁷
• Innere Funktion = 3x -2
• Innere Ableitung = 3
• y' = 8u⁷ · 3 = 24u⁷
• mit u = 3x - 2 => y' =  24 ( 3x  - 2 )⁷

Nochmal zum mitdenken: Wir führen zunächst eine Substitution durch. Dabei bedeutet der Ausdruck Substitution (von lat.: substituere = ersetzen)  allgemein das Ersetzen einer bestimmten Sache durch eine andere. In dem Fall ersetzen wir den Ausdruck 3x -2 durch die Variable "u". Anschließend bestimmen wir die innere und die äußere Funktion und bilden jeweils die Ableitung. Diese beiden Ableitungen werden nun miteinander multipliziert. Anschließend wird eine Rück-Substitution durchgeführt.

Beispiel 2: y = 2 · sin ( 3x )

• Substitution: u = 3x
• Äußere Funktion = 2 · sin(u)
• Äußere Ableitung = 2 · cos(u)
• Innere Funktion = 3x
• Innere Ableitung  = 3
• y' = 3 · 2 · cos(u)
• y' = 6 · cos(3x)

Auch hier wird die Klammer substituiert. Die innere und äußere Funktion wird ermittelt und jeweils die Ableitung gebildet. Danach wird die innere und die äußere Ableitung miteinander multipliziert und anschließend eine Rücksubstitution durchgeführt.

Beispiel 3: y = e^{4x + 2}

• Substitution: u = 4x + 2
• Äußere Funktion = e^u
• Äußere Ableitung = e^u
• Innere Funktion = 4x + 2
• Innere Ableitung = 4
• y' = e^u · 4
• y' = e^{4x + 2} · 4

In diesem Fall wird der Exponent substituiert. Anschließend werden wieder innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet. Wie immer erfolgt dann die Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung , gefolgt von der Rücksubstitution.

Links:

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