Fläche zwischen Funktionen

In diesem Abschnitt nutzen wir die Integral-Rechnung zur Bestimmung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen. Dabei zeigen wir euch anhand einer Grafik zunächst, was damit gemeint ist und wie man die so genannten Schnittpunkte ausnutzt.

Um den folgenden Artikel gut zu verstehen, sind Grundkenntnisse aus anderen Bereichen der Integralrechnung nötig. Wem die folgenden Themen noch gar nichts sagen, der möge sie bitte erst nachlesen:

• Grundlagen Integration
• Integrationsregeln
• Partielle Integration
• Flächenberechnung

Fläche zwischen Funktionen: Einführung

Zur Erinnerung: Mit der Integralrechnung lässt sich die Fläche unter einer Funktion bestimmen. Mit diesem Wissen versuchen wir im nun Folgenden für ein einfaches Beispiel die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen zu berechnen. Schaut euch dazu einmal die folgende Grafik an:

Folgendes gibt es bei dieser Grafik zu verstehen:

• Wir haben zwei Funktionen, die mit f(x) und g(x) bezeichnet werden
• Diese beiden Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten x₁ und x₂
• Die grüne Fläche ist die Fläche, welche die beiden Funktionsgraphen einschließen
• Die Funktion f(x) liegt zwischen den Schnittpunkten stets oberhalb von g(x)

Überlegung: Berechnen wir die Fläche unter g(x) und addieren die grüne Fläche drauf, erhalten wir die Fläche unter f(x). Oder anders ausgedrückt: Berechnen wir die Fläche unter f(x) und ziehen die Fläche unter g(x) ab, erhalten wir die grüne Fläche.

WICHTIG: Es bringt bei der Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen gar nichts, einfach irgendwelche Formeln stur auswendig zu lernen. Die Aufgaben können so verschieden gestellt werden, dass ihr mit bloßen Einsetzen in irgend eine Formel schnell zum falschen Ergebnis kommen würdet.

Beispiele: Flächen berechnen

Im nun Folgenden schauen wir uns verschiedene Beispiele zur Berechnung der Flächen an. Für das erste Beispiel geben wir dafür auch eine Beispielrechnung an. Für die anderen Beispiele beschränken wir uns vorerst auf die Idee zur Berechnung der Flächen.

Beispiel 1:

Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen soll berechnet werden. Deren Gleichungen lauten f(x) = x² - 8x + 17 und g(x) = -x + 7. Zur besseren Übersicht wurde eine Skizze angefertigt:

Um die Integrationsgrenzen zu erhalten, müssen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen finden.  Danach berechnen wir die Flächen unter den jeweiligen Funktionsgraphen. Deren Differenz ist die gesuchte Fläche. Das sieht dann so aus:

Nochmal zum mitdenken:

• Um die Integrationsgrenzen zu erhalten, haben wir die beiden Schnittpunkte der Funktionsgraphen berechnet
• Wir haben innerhalb dieser Grenze die Fläche unter g(x) berechnet
• Wir haben innerhalb dieser Grenze die Fläche unter h(x) berechnet
• Die Differenz ist die gesuchte, grün eingezeichnete Fläche

Es folgen einige weitere Beispiele, welche die Berechnung von Flächen zwischen Kurven zeigen. Um den Artikel nicht extrem in die Länge zu ziehen, wird bei diesen jedoch nur auf den allgemeinen Lösungsweg eingegangen.

Beispiel 2:

Kommen wir zu einem weiteren Beispiel, an dem die prinzipielle Denkweise verdeutlicht werden soll:

Zur Berechnung der Fläche müsste man wie folgt vorgehen:

• Die Funktionsgraphen haben keine Schnittpunkte, sondern werden in unserem Beispiel von x₁ und x₂ begrenzt.
• Die Fläche unter f(x) in den Grenzen wird berechnet. Dazu wird das Integral in den Grenzen x₁ und x₂ wie gewohnt für f(x) berechnet
• Die Fläche über g(x) wird berechnet. Dazu wird das Integral in den Grenzen x₁ und x₂ wie gewohnt für g(x) berechnet. Rechnerisch erhält man eine negative Fläche. Man nimmt von diesem Wert jedoch den Betrag.
• Die Fläche unter f(x) und der Betrag der Fläche unter g(x) in den Grenzen x₁ und x₂ werden addiert und bilden den gesamten Flächeninhalt.

Beispiel 3:

Unser nächstes Beispiel wird noch ein Stück komplizierter. Doch schaut euch zunächst einmal die folgende Grafik an:

Zur Berechnung der Fläche müsste man wie folgt vorgehen:

• Die Funktionen f(x) und g(x) schneiden sich in diesem Beispiel drei mal. Die Schnittpunkte müssen wie in Beispiel 1 berechnet werden
• Die linke grüne Fläche berechnet sich ähnlich wie in Beispiel 1: Die Flächen unter f(x) und g(x) werden in den Grenzen x₁ und x₂ jeweils berechnet. Die Differenz der Flächen ist die linke, grüne Fläche.
• Die rechte grüne Fläche berechnet sich ähnlich wie in Beispiel 1: Die Flächen unter f(x) und g(x) werden in den Grenzen x₂ und x₃ jeweils berechnet. Die Differenz der Fläche ist die rechte, grüne Fläche.

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