Kathetensatz und Höhensatz des Euklid

Der Kathetensatz des Euklid und der Höhensatz des Euklid werden in diesem Artikel der Mathematik behandelt. Dabei erklären wir euch zunächst, mit welchen Formeln man hier rechnet. Zu dem gibt es Beispiele sowie Übungen mit Musterlösungen.

Ich bemühe mich den Kathetensatz und den Höhensatz möglichst einfach zu erklären. Oftmals scheitern Schüler jedoch bereits an den Vorkenntnissen. Aus diesem Grund rate ich euch bei Problemen mit dem Verständnis dieses Artikels noch einmal die folgenden Abschnitte zur Mathematik zu lesen.

• Variablen und Formeln
• Gleichungen lösen
• Satz des Pythagoras

Kathetensatz des Euklid

Beginnen wir mit dem Kathetensatz des Euklid. Dazu schaut euch zunächst einmal  die folgende Grafik näher an.

Das Ganze sieht aus, als würden zwei Dreiecke aneinander liegen. Beide haben jeweils einen rechten Winkel am Punkt "S". Denkt man sich nun die die senkrechte Linie zwischen den Punkten S und C weg, erhält man ein Dreieck, welches am Punkt C einen rechten Winkel hat.

Den wichtigen Punkten des Gebildes wurden die Buchstaben A, B, C und S zugewiesen. Die Variablen a, b, q und p stehen jeweils für die Längen der Strecken zwischen zwei Punkten. Die Länge c ergibt sich aus der Addition der Streckenlängen von q und p, heißt  c = q + p. Sind nun einige der Längen gegeben, kann man mit Hilfe des Kathetensatzes von Euklid weitere Streckenlängen bestimmen.

Formeln: Kathetensatz des Euklid

• a² = p · c
• b² = q · c

Beispiel:

Bei der Konstruktion eines Gestells sind die Längen c und p bekannt. Die Längen a und b müssen nun noch bestimmt werden.

• Gegeben:  c = 5cm ;  p = 2cm
• Gesucht: a; b

Lösung:

• q = c - p
• q = 5cm - 2cm
• q = 3cm

• a² = c · p
• a² = 5cm · 2cm
• a² = 10cm²
• a = 3,16cm

• b² = c · q
• b² = 5cm · 3cm
• b² = 15cm²
• b = 3,87cm

Höhensatz des Euklid

Der Höhensatz des Euklid lehnt sich stark an den Kathetensatz an. Seht euch dazu einmal die folgende Grafik an. Dann solltet ihr bemerken, dass noch ein "h" für die Höhe definiert wurde.

Formel: Höhensatz des Euklid

• h² = p · q

In die Formel müsst ihr nun einfach p und q einsetzen und aus dem Produkt die Wurzel ziehen. Dadurch erhaltet Ihr die Höhe h. Das folgende Beispiel sollte den Höhensatz des Euklid nun noch verdeutlichen.

Beispiel:

Die Länge p sei 2cm, die Länge q sei 3cm. Die Höhe soll bestimmt werden:

• p = 2cm
• q = 3cm

Lösung:

• h² = p · q
• h² = 2cm · 3cm
• h² = 6cm² // Wurzel ziehen
• h = 2,45 cm

Links:

• Übungen: Kathetensatz / Höhensatz
• Mathematik Übersicht