Ganz wichtig: Dies ist die zweite Seite des Artikels "Lineare Gleichungen lösen". Alle die noch nicht die erste Seite gelesen haben, sollten dies nun noch nachholen ( Zum Artikel: Lineare Gleichungen lösen Seite 1 ). Nachdem wir uns nun mit der Addition und Subtraktion von Zahlen zum Lösen von Gleichungen beschäftigt haben, führen wir hier nun noch die Multiplikation und Division ein.
Gleichungen lösen durch Multiplikation und Division
Bisher musstet ihr um eine "+2" zu entfernen mit "-2" rechnen und umgekehrt. Dies gilt auch für Multiplikation und Division. Um eine "·5" zu entfernen, müsst ihr ":5" rechnen. Und umgekehrt. Klingt erstmal etwas seltsam, das folgende Beispiel zeigt euch jedoch, wie dies funktioniert. Auch hier soll nach "x" aufgelöst werden.
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| Beispiel 5: | |
| 5 · x = 15 | | :5 |
| x = 3 |
Damit "x" alleine dasteht, muss durch 5 dividiert werden. Begründung: 5 : 5 = 1 und 1 · x = x. Wem das zu kompliziert ist, der muss sich einfach nur merken: Um 5 · x weg zu bekommen, muss ich durch 5 dividieren. Anmerkung: Die Schreibweise 5 · x entspricht mathematisch gesehen 5x. Steht kein Rechenzeichen zwischen der Zahl und der Variable, wird eine Multiplikation durchgeführt. Dies wird auch in den folgenden Beispielen so gehandhabt. Zu dem gibt es noch einige weitere Beispiele, welche durch Multiplikation und Division zu lösen sind.
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| Beispiel 6: | |
|
0,5x = 2 |
| :0,5 |
| x = 4 |
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| Beispiel 7: | |
| 5 = 0,2x | | :0,2 |
| 25 = x |
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Größere Gleichungen, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
Die bis hier hin behandelten Gleichungen waren alle relativ "kurz", sprich die Gleichungen beinhalteten relativ wenige Zahlen und die Umformungen konnten somit in 1-2 Zeilen durchgeführt werden. In den folgenden Beispielen wird es nötig, dass ihr die Punkt vor Strich und Klammerrechnung beherrscht. Wer damit noch Probleme hat, klickt auf den Link von eben an und arbeitet dies erstmal nach. Sonst werdet ihr im nun Folgenden Probleme bekommen. Fangen wir wie immer mit einem Beispiel an.
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| Beispiel 8 | |
| 5 · 8 + x = 10 | |
| 40 + x = 10 | | -40 |
| x = -30 |
Auch hier gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung. Die Multiplikation wird als erstes ausgeführt. Alles andere ist wie bei den bereits besprochenen Beispielen. Wir behandeln gleich noch weitere Beispiele, zuvor jedoch noch einen ganz kleinen Ausflug in die Theorie der Rechengesetze.
Das Assoziativgesetz: ( a + b ) + c <=> a + ( b + c )
Einfacher ausgedrückt: Ob ich erst die Variablen a + b addiere und dann c dazu addiere oder erst b + c addiere und dann dazu addiere führt zum gleichen Ergebnis.
Das Distributivgesetz: a · b + a · c <=> a · ( b + c )
Das Distributivgestz besagt: Ein konstanter Faktor kann ausgeklammert werden. Das "a" kommt in beiden Multiplikationen vor. Deshalb kann es vor die Klammer gesetzt werden und b + c werden addiert. Dann gilt wie immer die Punkt vor Strich und Klammerrechnung.
Der kleine Einschub von eben zeigt nur einige weitere Möglichkeiten auf, wie man Gleichungen umformen kann. Kommen wir nun zu weiteren Beispielen um Gleichungen aufzulösen.
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| Beispiel 9: | |
| 40 + 20x = 20 | | :20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
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| Beispiel 10: | |
| 3 + 5 · 2 + 5x = 10 | |
| 3 + 10 + 5x = 10 | |
| 13 + 5x = 10 | | -13 |
| 5x = -3 | | :5 |
| x = -0,6 |
Probe durchführen
Leider kommt es immer mal wieder vor, dass man sich verrechnet. Das Ergebnis ist dann leider falsch und somit unbrauchbar. Aus diesem Grund lohnt es sich, eine so genannte "Probe" durchzuführen. Das ist eigentlich ganz simpel:
- Rechnet die Aufgabe zunächst ganz normal durch. Am Ende bekommt ihr "x =eine Zahl" raus
- Diese Zahl setzt ihr anstelle von "x" in die Startgleichung ein
- Diese Startgleichung rechnet ihr mit diesem Wert durch
- Ist dann die linke Seite gleich der rechten Seite, stimmt eure Lösung. Ansonsten heißt es: Rechenfehler suchen
Schauen wir uns noch einmal das Beispiel an:
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| Beispiel 9: | |
| 40 + 20x = 20 | | :20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
Wir haben x = -1 raus bekommen. Dazu zunächst die Probe. Diese zeigt, dass die Lösung x = -1 stimmt. Anschließend zeige ich, dass wenn ihr zum Beispiel x = 2 raus bekommen hättet, dass die Probe dann nicht klappt.
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| 40 + 20x = 20 | x = -1 einsetzen |
| 40 + 20 · (-1) = 20 | |
| 40 - 20 = 20 | |
| 20 = 20 | Probe erfolgreich |
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| 40 + 20x = 20 | x = 2 einsetzen |
| 40 + 20 · 2 = 20 | |
| 40 + 40 = 20 | |
| 80 = 20 | Probe falsch |
Das Lösen von linearen Gleichungen klappt nur, wenn Ihr selbst einiges an Übung darin habt. Folgt dem Link zu unseren Übungsaufgaben und löst diese.
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