Pole und Nullstellen

Mit Polen und Nullstellen von Funktionen beschäftigen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, wofür man diese Informationen überhaupt benötigt und wie man sie berechnet.

Bevor wir mit der Berechnung von Polen und Nullstellen beginnen, solltet ihr euch die folgende Liste einmal näher ansehen. Kommen euch diese Themen vollkommen unbekannt vor, solltet ihr die entsprechenden Artikel noch einmal nachlesen. Denn diese liefern benötigtes Grundwissen zur Berechnung von Polen und Nullstellen.

• Variablen und Formeln
• Bruchrechnung
• Gleichungen lösen
• Funktionen zeichnen
• PQ-Formel

Wofür benötige ich Pole und Nullstellen?

Beginnen wir damit zu klären, worum es sich bei einer Nullstelle oder einem Pol überhaupt handelt. Die folgenden Definitionen solltet ihr euch merken, um das Verstehen kümmern wir uns anschließend.

• Nullstelle: Eine Nullstelle einer Funktion ist die Abszisse / x-Koordinate eines Schnittpunktes des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle x₀, wo das Zählerpolynom g(x) den Wert Null, das Nennerpolynom h(x) einen von Null verschiedenen Wert annimmt.
• Polstelle: Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind demnach Stellen, in denen das Nennerpolynom h(x) verschwindet, das Zählerpolynom g(x) jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt.

Im Unterricht der Schule wird oftmals den Schülern nicht klar, wofür man Pole und Nullstellen einer Funktion überhaupt berechnen soll. Dies ist nicht verwunderlich, denn viele der Anwendungen werden erst während des Studiums genutzt. Schüler und Schülerinnen sollen jedoch aus dem Mathematik-Unterricht der Schule bereits die dafür nötigen Grundkenntnisse kennen. Hier eine kleine - unvollständige - Liste hierzu:

• Nullstellen und Pole geben Hinweise darauf, wie eine Funktion ( zeichnerisch ) aussieht.
• Aus der Bruchrechnung wisst ihr hoffentlich noch, dass durch Null nicht dividiert werden darf. Ihr dürft somit keine Zahlen in die Gleichung einsetzen, bei der eine Division durch Null erfolgen würde.
• Eine Anwendung: Die Lage der Pole und Nullstellen liefert in der Regelungstechnik Informationen zum Verhalten dynamischer Systeme. Mit der Pol-Nullstellen-Verteilung kann zu dem Reglersynthese mittels Wurzelortskurve betrieben werden.

Pole und Nullstellen berechnen

Anhand einiger Beispiele soll euch nun die Berechnung von Polen und Nullstellen verdeutlicht werden.

Beispiel 1:

• Die Nullstelle liegt bei -3, denn setze ich -3 für x ein, so wird der Zähler Null.
• Der Pol liegt bei +2, denn setze ich +2 für x ein, so wird der Nenner Null.

Beispiel 2:

• Die Nullstelle liegt bei -3, denn setze ich -3 für x ein, wird der Zähler Null
• Der Pol liegt bei +1, denn setze ich +1 für x ein, wird der Nenner Null

Beispiel 3:

• Zur Erinnerung: Multipliziert man einen Ausdruck mit Null, ist das Ergebnis Null. Setzt man für x nun Null ein, wird der Zähler Null. Deshalb ist die Zahl 0 eine Nullstelle des Zählers. Der Zähler wird aber auch Null, wenn man -3 einsetzt.
• Ähnlich sieht es beim Nenner aus. Setze man hier entweder -1 oder +2 ein, wird dieser ebenfalls Null.

Beispiel 4:

• Der Zähler wird Null, wenn ich für x die Zahl Null einsetze.
• Der Nenner wird Null, wenn ich für x die Zahl -3 einsetze. Da dies jedoch für beide Klammern gilt, erhalte ich zweimal die -3 als Ergebnis. Man spricht hier auch von einem Doppelpol.

Beispiel 5:

• Im Zähler findet ihr eine quadratische Gleichung. Um diese zu lösen, benötigt Ihr die PQ-Formel. Wendet ihr diese auf x² + 9x + 1 an, findet ihr die Nullstellen bei -0,113 und -8,887.
• Im Nenner klammern wir ein x aus und erhalten: x ( x² + 8x + 2 ). Somit liegt der erste Pol bei p₁ = 0. Zwei weitere Pole erhalten wir, wenn wir auf den Ausdruck x² + 8x + 2 die PQ-Formel anwenden. Diese liegen dann bei p₂ = -0,26 und p₃ = -7,74.

Hinweis: Bitte auch den zweiten Teil des Artikels beachten.

Links:

• Übungen: Pole und Nullstellen
• Mathematik Übersicht