Quadratische Funktion durch 2 / 3 Punkte

In diesem Artikel geht es darum mit 2 Punkten oder 3 Punkten eine quadratische Funktion zu bestimmen. Dies wird durch einige Beispiele gezeigt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Manchmal sucht man im Mathematik-Unterricht eine Funktion. Dann sind verschiedene Punkte gegeben und damit soll eine Funktion bestimmt werden, die genau durch diese Punkte verläuft. Um die nächsten Abschnitte zu verstehen solltet ihr wissen was eine quadratische Funktion ist und wie man ein lineares Gleichungssystem löst.

• Quadratische Funktion
• Lineares Gleichungssystem lösen

Erklärung als Video:
Dieses Thema liegt auch als Video vor. In diesem werden typische Aufgabenstellungen, ein allgemeiner Lösungsweg, Beispiele und Tipps vorgestellt. Per Button kann auch in den Vollbildmodus gewechselt werden. Das Video ist auch direkt in der Sektion Quadratische Funktion Punkte Video aufrufbar. Bei Abspielproblemen hilft der Artikel Video Probleme.

Quadratische Funktion / Parabel mit drei Punkte

In den meisten Fällen sind bei solchen Aufgaben drei Punkte gegeben und eine Funktion gesucht, die durch diese drei Punkte geht. Dabei sollte klar sein: Mit drei Punkten kann man eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c bestimmen. Man setzt dabei die Punkte jeweils ein und löst im Anschluss das lineare Gleichungssystem. Die Beispiele zeigen wie dies funktioniert.

Beispiel 1:

Gegeben sind die Punkte P₁( 0 | 0 ), P₂( 2 | 4 ) und P₃( 3 | 9 ). Gesucht ist eine quadratische Funktion auf deren Verlauf alle drei Punkte zu finden sind.

Lösung: Wir haben drei Punkte jeweils mit einem X-Wert und einem Y-Wert. Wir setzen diese drei Punkte jeweils in f(x) = ax² + bx + c ein. Dabei entstehen drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Und diese kann man lösen wie ein lineares Gleichungssystem. Wir erhalten damit a, b und c und somit in diesem Fall y = x². Als erstes stellen wir das Gleichungssystem auf:

• P₁: 0 = a · 0² + b · 0 + c
• P₂: 4 = a · 2² + b · 2 + c
• P₃: 9 = a · 3² + b · 3 + c

Aus der ersten Gleichung sehen wir sofort c = 0. Damit bleiben noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

• 4 = 4a + 2b
• 9 = 9a + 3b

Die erste Gleichung dividieren wir durch 2 und die zweite Gleichung durch 3. Wir erhalten:

• 2 = 2a + b
• 3 = 3a + b

Wir ziehen die beiden Gleichungen voneinander ab und erhalten -1 = -a und damit a = 1. Setzen wir in 2 = 2a + b nun a = 1 ein erhalten wir noch b = 0. Wir haben insgesamt also c = 0, a = 1 und b = 0 herausbekommen. Setzen wir dies in f(x) = ax² + bx + c ein bleibt f(x) = x² übrig.

Beispiel 2:

Gegeben sind die Punkte P₁( 1 | 0,5 ), P₂( -1 | -0,5 ) und P₃( 2 | 0,4 ). Gesucht ist eine quadratische Funktion auf deren Verlauf alle drei Punkte zu finden sind.

Lösung: Wir setzen diese drei Punkte jeweils in f(x) = ax² + bx + c ein. Dabei entstehen drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Und diese kann man lösen wie ein lineares Gleichungssystem. Wir erhalten damit a, b und c und somit in diesem Fall y = -0,2x² + 0,5x + 0,2.

• P₁: 0,5 = a + b + c
• P₂: -0,5 = a - b + c
• P₃: 0,4 = 4a + 2b + c

Wir ziehen von der ersten Gleichung die zweite ab und erhalten b = 0,5:

• 0,5 = a + b + c
• -0,5 = a - b + c
• 1 = 0 + 2b
• b = 0,5

Wir ziehen von der zweiten Gleichung die Dritte ab und erhalten damit a = -0,2

• -0,5 = a - b + c
• 0,4 = 4a + 2b + c
• -0,9 = -3a - 3b
• -0,9 = -3a - 3 · 0,5
• a = -0,2

Wir setzen a = -0,2 und b = 0,5 in die aller erste Gleichung ein:

• 0,5 = a + b + c
• 0,5 = -0,2 + 0,5 + c
• c = 0,2

Wir erhalten damit:

• f(x) = -0,2x² + 0,5x + 0,2

Quadratische Funktion / Parabel mit zwei Punkten

Wir haben mit drei Punkten drei Gleichungen aufgestellt. Wie soll man denn nun mit zwei Punkten dies ebenfalls hinbekommen? Das sollte doch eigentlich nicht gehen... Doch unter gewissen Umständen geht das. Und zwar dann, wenn im Aufgabentext neben diesen beiden Punkten noch weitere Informationen verfügbar sind.

Beispiel 3:

Gegeben sei der Punkt P₁(0|0) und der Extrempunkt P₂(0,5 | 1,5 ). Gesucht ist die dazu passende quadratische Funktion.

Lösung: Zunächst stellen wir mit den beiden Punkten zwei Gleichungen auf ( wie wir das oben auch schon getan haben ). Damit erhalten wir auch schon gleich c = 0. Die erste Gleichung:

• 0 = a · 0 + b · 0 + c
• c = 0

Und die zweite Gleichung mit Punkt Nr. 2:

• 1,5 = a · 0,5² + b · 0,5 + 0
• 1,5 = 0,25a + 0,5b

Jetzt haben wir zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Wir wissen aber auch noch, dass der zweite Punkt ein Extrempunkt ist. Daher leiten wir f(x) ab und setzen x = 0,5 und die Gleichung gleich Null.

• f(x) = ax² + bx + c
• f'(x) = 2ax + b
• 0 = 2ax + b
• 0 = 2 · a · 0,5 + b
• 0 = a + b
• a = - b

Wir haben jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wir setzen in die nun folgende obere Gleichung -b für a ein:

• 1,5 = 0,25a + 0,5b
• a = - b
• 1,5 = 0,25 · (-b) + 0,5b
• 1,5 = -0,25b + 0,5b
• 1,5 = 0,25b
• b = 6

Mit b = 6 gehen wir noch in eine der vorigen Gleichungen und berechnen a:

• a = -b
• a = -6

Mit a = -6, b = 6 und c = 0 erhalten wir bei Einsetzen in f(x) = ax² + bx + c :

• f(x) = -6x² + 6x

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