Mit den Standardsymmetrien befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei wird erklärt, was man unter Standardsymmetrien zu verstehen hat und wie man diese rausfindet. Entsprechende Beispiele werden auch vorgestellt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.
Spricht man von Standardsymmetrien, so sind damit meistens Achsensymmetrie zur Y-Achse und Punktsymmetrie gemeint. Diese beiden Themen sehen uns wir uns nun nacheinander an und dabei sehen wir uns auch entsprechende Beispiele an.
Themen zur Standardsymmetrie:
- 1. Achsensymmetrie
- 2. Punktsymmetrie
1. Achsensymmetrie ( Standardsymmetrie )
Die erste Standardsymmetrie die wir uns nun ansehen ist die Achsensymmetrie. Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur Y-Achse angeordnet. Dies bedeutet, dass jeder auf der Kurve gelegene Punkt durch Spiegelung an der Y-Achse wieder in einen Kurvenpunkt übergeht. Mathematisch findet man solch eine Funktion wenn gilt: f(-x) = f(x). Aber was bedeutet dies nun? Beginnen wir mit einer einfachen Grafik mit y = x2 bei der an der roten Linie ( Y-Achse ) die Spiegelung durchgeführt wird. Spiegelt man den Punkt auf der rechten Seite, so liegt der gespiegelte Punkt auf der anderen Seite ebenfalls auf der Kurve.
So eine Grafik mag ja schön und nett sein. Aber es ist doch viel zu umständlich jede Funktion zu zeichnen um die Standardsymmetrien herauszufinden? Richtig. Also berechnen wir ob eine Funktion spiegelsymmetrisch ist oder eben nicht. Hinweis: Gilt f(x) = f(-x) so wird die Funktion auch als gerade bezeichnet.
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Spiegelsymmetrie berechnen
Die Spiegelsymmetrie finden wir heraus, in dem wir f(x) = f(-x) setzen und nachsehen, ob auf beiden Seiten der Gleichung dann der selbe Ausdruck steht. Zum besseren Verständnis rechne ich einmal ein paar Beispiele vor.
Beispiel 1:
Ist die Funktion f(x) = x2 spiegelsymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).
Beispiel 2:
Ist die Funktion f(x) = x2 + 3 spiegelsymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir wieder f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).
Beispiel 3:
Ist die Funktion f(x) = x + 2 spiegelsymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir wieder f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).
2. Punktsymmetrie ( Standardsymmetrie )
Die zweite Standardsymmetrie ist die Punktsymmetrie. Beginnen wir erst einmal mit einer kurzen Definition bevor wir uns eine Grafik und Beispiele ansehen. Eine Funktion y = f(x) mit einem symmetrischen Definitionsbereich D heißt ungerade, wenn für jedes x ε D die Bedingung f(-x) = -f(x) erfüllt ist. In diesem Fall ist die Funktion auch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die folgende Grafik zeigt die Funktion y = x3. Wir nehmen uns nun einen Punkt auf deren Verlauf und spiegeln diesen am Koordinatenursprung ( roter Punkt ). Tun wir dies, erhalten wir einen weiteren Punkt, der ebenfalls auf dem Kurvenverlauf liegt.
Soweit zur Grafik. Aber es ist doch sicherlich viel zu kompliziert eine Funktion immer zu zeichnen und dann nachzusehen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt? Richtig. Genau aus diesem Grund geht es im nächsten Abschnitt darum rechnerisch herausfinden, ob eine Punktsymmetrie vorliegt.
Punktsymmetrie berechnen
Wie kann man nun berechnen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt oder nicht? Dazu setzen wir f(-x) = -f(x) und sehen ob die Gleichung wahr ist. Damit hätten wir eine ungerade Funktion, welche punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Die folgenden Beispiele werden dies hoffentlich verdeutlichen.
Beispiel 1:
Die Funktion f(x) = x3 soll auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x). Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.
Beispiel 2:
Die Funktion f(x) = -3x3 +2x soll auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x). Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.
Beispiel 3:
Die Funktion f(x) = x2 + x soll auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x). Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.
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