Termumformungen

Mit Termumformungen befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, was ein Term ist und wie man Terme entsprechend umformt. Passende Beispiele sollen das Verständnis dabei verbessern. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Bevor wir mit der Termumformung beginnen, sollte zunächst geklärt werden, was ein Term überhaupt ist. In der Mathematik bezeichnet der Begriff Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole (für mathematische Verknüpfungen) und Klammern enthalten kann. Somit sind Terme sozusagen die grammatisch korrekten Wörter bzw. Wortgruppen in der Sprache der Mathematik. Zum besseren Verständnis dieser Aussage, folgen nun eine Reihe an Beispielen.

Beispiele für Terme:

• 2 + 0,5
• a² + b² + c³
• cos (x)
• sin (x)

Die Termumformung

Beginnen wir mir relativ einfachen Termumformungen. Dabei kommt folgende Regel zum Einsatz: Kommen in Termen die gleichen Variablen mehrfach vor, so kann man sie zusammenfassen und als ein Produkt aus Zahlen und Variablen schreiben. Die folgenden Beispiele verdeutlichen, wie diese Zusammenfassungen aussehen:

• x + x + x = 3x
• xy + xy + xy = 3xy
• 2a + 4a + 3a = 9a
• 2x - x + 3x = 4x
• 2a - 2a - 3a = -3a

Zu dem treten in Summen oder Differenzen gleiche Variablen mit unterschiedlichen Koeffizienten auf. Diese kann man ebenfalls zusammenfassen. Dabei werden die Koeffizienten addiert oder subtrahiert. Die folgenden Bespiele zeigen euch, wie dies funktioniert:

• 2a + 3b + a + 4b = 3a + 7b
• 3x² + 2y + 6x² + 3y = 9x² + 5y
• 5a⁴ + 2a⁴ + 2z + 3z = 7a⁴ + 5z

Termumformungen bei Klammern

Dieser Abschnitt zu Termumformungen beschäftigt sich mit der Umformung von Termen, bei denen Klammern zu finden sind. Beginnen wir mit dem Ausmultiplizieren von Klammern. Dazu erst einmal ein paar kleine Beispiele zum Einstieg, welche im Anschluss erläutert werden.

• 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4
• 3 · (6 + 9) = 3 · 6 + 3 · 9
• 3 · (a + b) = 3 · a + 3 · b
• 5 · (a + b + c) = 5a + 5b+ 5c

Dies waren einige Beispiele um Klammern auszumultiplizieren. Wie ihr seht, wird die Zahl vor der Klammer mit jedem Ausdruck innerhalb der Klammer multipliziert und zwischen die einzelnen Multiplikationen ein Plus-Zeichen ("+") geschrieben. Das war es auch schon. Zum besseren Verständnis noch ein paar weitere Bespiele:

• 2,34 · (2 + 3) = 2,34 · 2 + 2,34 · 3 = 11,7
• 5 (4 - a) = 5 · 4 + 5 ·(- a) = 20 - 5a
• 3 (-a + b) = 3 · (-a) + 3 · b = -3a + 3b

Dies waren nun noch ein paar Beispiele, wie man mit Kommazahlen / Dezimalzahlen und negativen Zahlen umgehen muss. Wer damit noch Probleme hat, sollte auch noch einmal in unserem Artikel positive und negative Zahlen nachlesen. Dort wird auf die Vorzeichenproblematik noch einmal eingegangen. Als Letztes gehen wir noch einmal darauf ein, was passiert, wenn mehrere Klammern existieren. Auch hier folgenden anschließend die Erklärungen:

• (1 + 2) (3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4
• (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
• (a - b) (-c + d) = -ac +ad +bc -bd

Auch wenn es nicht sehr mathematisch klingt: Alles mit allem multiplizieren. Also jede Zahl oder jede Variable mit jeder Zahl oder Variablen der anderen Klammer multiplizieren und dazwischen "+" rechnen.

Termumformungen mit binomischen Formen

Dieser Abschnitt zu Termumformungen befasst sich noch mit den binomischen Formeln. All diejenigen, die sich mit der Rechnung rund um Klammern bereits auskennen, brauchen die binomischen Formeln eigentlich gar nicht. Denn diese ergeben sich zwangsläufig aus den Rechengesetzen. Warum diese dennoch in der Schule behandelt werden, hat einen einfachen Grund: Sie erleichtern das Leben, denn diese Rechenwege werden häufig eingesetzt. Die drei binomischen Formeln stellen somit eine "Abkürzung" dar.

1.Binomische Formel:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

Beispiele:

• (3 + 4)² = 3² + 2 · 3 · 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
• (1 + 2)² =1² + 2 · 1 · 2 + 2² =1 + 4 + 4 = 9

2. Binomische Formel:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Beispiele:

• (4 - 2)² = 4² -2 · 4 · 2 + (-2)² =16 - 16 + 4 = 4
• (3 - a)² = 3² - 2 · 3 · a + a² = 9 - 6a + a²

3. Binomische Formel:

• 3.Binomische Formel: (a + b) (a - b) = a² - b²

Beispiele:

• (a + 3) (a - 3) = a² -3² = a² - 9
• (2 + b) (2 - b) = 2² - b² = 4 - b²

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