Wendestelle berechnen / bestimmen

Mit der Wendestelle und wie man diese findet befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei wird gezeigt, was eine Wendestelle ist und wo der Unterschied zu einem Wendepunkt liegt. Das Ganze wird durch ein Beispiel erklärt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Im nun Folgenden gehen wir näher auf den Begriff des Wendepunktes und der Wendestelle ein. Damit ihr diesen Artikel jedoch verstehen könnt, solltet ihr einige Vorkenntnisse mitbringen. Wem die folgenden Artikel noch gar nichts sagen, der möge sie bitte nachlesen. Alle anderen können gleich mit der Wendestelle starten.

• Fakotorregel und Summenregel
• Tabelle von Ableitungen
• Erste und zweite Ableitung
• Extremwerte: Hochpunkt und Tiefpunkt

Wendepunkt und Wendestelle

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Einen Wendepunkt beschreibt man mit einem x-Wert und einem y-Wert. Man gibt dies oft mit W ( x_W | y_W ) an. Ein Wendepunkt W an der Wendestelle x_W liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle x_W ihr Vorzeichen wechselt. Einen Wendepunkt beschreibt man also mit einem x-Wert und einem y-Wert, für die Wendestelle gibt man nur den x-Wert an.

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. In der folgenden Grafik wurde ein solcher Wendepunkt eingezeichnet. Damit dürfte auch die Wendestelle klar sein.

Wendestelle berechnen

Nun stellt ich natürlich die Frage: Wie berechne ich einen Wendestelle? Dazu bedient man sich wie auch beim Hochpunkt bzw. Tiefpunkt  der Differentialrechnung. Die hinreichende Bedingung für einen Wendestelle lautet:

• f''(x₀) = 0
• f'''(x₀ ) ≠ 0

Praktische Vorgehensweise:

Um eine Funktion auf Wendestelle hin zu untersuchen, führen wir die folgenden Schritte durch:

1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
2. Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich
3. Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
4. Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor
5. Sofern noch der Wendepunkt interessant ist: Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen

Beispiel 1:

Gegeben sei die Funktion f(x) = 1/3x³ - 2x² + 3x. Die Funktion soll auf Wendestellen hin untersucht werden. Dazu leiten wir die Funktion dreimal ab und setzen die zweite Ableitung gleich Null. Dadurch erhalten wir x = 2. Durch die dritte Ableitung sehen wir, dass wirklich eine Wendestelle bzw. ein Wendepunkt vorliegt. Die Wendestelle liegt bei x = 2. Um den Wendepunkt zu ermitteln gehen wir mit x = 2 noch in die Ausgangsgleichung und erhalten y = 2/3.

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