Funktionsschar ( Kurvendiskussion + Ableiten )

In diesem Artikel gibt es Erklärungen zu Funktionsscharen. Dabei sehen wir uns auch Kurvendiskussionen inklusive Ableitung an. Die soll durch Beispiele gezeigt werden. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Wir sehen uns gleich an wie man mit Funktionsscharen umgeht. Dabei wird erklärt was eine Funktionsschar ist und eine Kurvendiskussion inklusive Ableitung durchgeführt. Wer Probleme mit den folgenden Inhalten hat dem helfen vielleicht noch diese Artikel:

• PQ-Formel
• Quotientenregel
• Kettenregel
• Symmetrie

Erklärung als Video:
Dieses Thema liegt auch als Video vor. In diesem werden entsprechende Beispiele vorgestellt. Per Button kann auch in den Vollbildmodus gewechselt werden. Das Video ist auch direkt in der Sektion Funktionsschar Video aufrufbar. Bei Abspielproblemen hilft der Artikel Video Probleme.

Erklärung: Was ist eine Funktionsschar?

Enthält eine Funktionsgleichung neben der Gleichungsvariablen noch eine Formvariable, so spricht man von einer Funktionsschar. Diese Formvariable kann hier verschiedene Werte annehmen, so dass verschiedene Funktionen dabei entstehen. Dadurch kann eine Funktion zum Beispiel breiter / schmaler werden oder nach oben / unten verschoben werden. Setzt man bei y = x² + k für k verschiedene Werte ein, so verschiebt sich der Verlauf hoch bzw. runter. Die folgende Grafik zeigt y = x² + k für k = 0 und k = 1:

So einfach wie in der Grafik mit y = x² + k ist es meistens leider nicht. Wir sehen uns gleich ein Beispiel an, das unter anderem Brüche enthält und dadurch schwieriger zu behandeln ist. Je nach Wahl von k sind dann sehr unterschiedliche Verhalten möglich ( abhängig von der Funktion die man untersucht natürlich ). Die Autoren von Aufgaben Fragen dann regelmäßig wie sich der Kurvenverlauf mit sich änderndem k verhält. Wer sich hier unsicher ist sollte einfach den Verlauf für unterschiedliche k einmal zeichnen.

Hinweis zur Kurvendiskussion: Im Zuge von Aufgaben zu Kurvendiskussionen werden den Schülern bzw. Studenten oft unterschiedliche Aufgabenstellungen vorgesetzt. Manchmal geht es in den Aufgaben beispielsweise darum eine Wendetangente zu finden, manchmal lässt man dies weg. Bei den folgenden Beispielen sehen wir uns typische Aufgabenstellungen an, weitere sind natürlich möglich.

Beispiel: Kurvendiskussion einer Funktionsschar + Ableitung

Gegeben sei die Funktion f(x) = ( k · x ) : ( x² + 1 ). Diese soll auf Nullstellen und Pole bzw. Lücken untersucht werden. Wir setzen im Anschluss k = 1. Danach geht es um Symmetrie (ab hier rechnen wir mit k = 1) sowie Hochpunkte und Tiefpunkte. Wir untersuchen das Verhalten am Rande des Definitionsbereichs und legen eine Tangente an die Stelle x = 2.

Nullstellen, Pole und Lücken:

Um Nullstellen, Pole und Lücken zu finden untersuchen wir den Zähler und den Nenner. Als erstes setzen wir den Zähler gleich Null. Dieser wird Null, wenn x = 0 ist. Damit haben wir einen Kandidaten für eine Nullstelle. Als nächstes setzen wir den Nenner gleich Null. Da x² + 1 = 0 im reellen nicht lösbar ist, kann der Nenner nicht Null werden. Aus diesem Grund haben wir bei x₁ = 0 eine Nullstelle und es existierten keine Pole oder Lücken.

Symmetrie:

Wir setzen nun k = 1 und sehen uns Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung an. Dazu benötigen wir neben f(x) nun erst noch f(-x) und -f(-x). Bei f(-x) tauschen wir einfach x durch -x aus. Und bei -f(-x) setzen zusätzlich noch ein Minus-Zeichen davor. Um auf Achsensymmetrie zu prüfen setzen wir f(x) = f(-x). Bei der Berechnung sehen wir, dass f(x) und f(-x) verschieden sind. Damit liegt keine Achsensymmetrie vor. Punktsymmetrie liegt hingegen vor, da f(x) = -f(-x) ist.

Hochpunkt + Tiefpunkt:

Als nächstes suchen wir Hochpunkte und Tiefpunkte ( inklusive y-Werte ). Dazu leiten wir mit der Quotientenregel die Funktion zweimal ab. Tipp: Wer mit dem Quadrat des Nenners ein Problem hat kann diesen auch ausmultiplizieren. Im Anschluss setzen wir die erste Ableitung gleich Null und erhalten x₁ = 1 und x₂ = -1. Diese beiden Werte setzen wir in die zweite Ableitung ein und erhalten dabei einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Die x-Werte der Extremwerte kennen wir bereits, nun suchen wir deren y-Werte. Dazu setzen wir x = 1 und x = -1 in f(x) ein und berechnen jeweils den y-Wert.

Hinweis: Im Zähler steht bei der 2. Ableitung (4x³+ 4x + 1). Die + 1 sollte bei der Ableitung eigentlich wegfallen. Ich korrigiere dies beim nächsten Update der Sektion.

Rand des Definitionsbereichs:

Wir haben die Funktion bereits auf Pole und Lücken untersucht und keine gefunden. Daher sehen wir uns die Ränder des Definitionsbereichs für Plus und Minus Unendlich an. Prinzipiell kann man sagen, dass der Nenner bei großen Zahlen sehr viel schneller wachsen will als der Zähler, da wir im Nenner x² vorliegen haben gegenüber einem einfachen x im Zähler.

• X gegen plus Unendlich: Zähler und Nenner sind stets positiv. Der Bruch wird mit größer werdendem x immer kleiner und nähert sich daher von oben der x-Achse.
• X gegen minus Unendlich: Der Zähler ist stets negativ, im Nenner quadriert sich das negative Vorzeichen weg. Daher ist der Bruch dann insgesamt negativ und nähert sich von unten der x-Achse.

Tangente an x = 2:

Es soll nun eine Tangente an die Stelle x = 2 gelegt werden. Eine Tangente ist eine Gerade. Und diese hat - wenn man sich an den Unterricht erinnert - die Form y = m · x + b. Wir müssen also m und b rausfinden. Unter m versteht man die Steigung, welche wir über die erste Ableitung rausbekommen. Wir setzen x = 2 in diese ein und erhalten -0,12. Nun brauchen wir den y-Wert, den wir erhalten, indem wir x = 2 in f(x) einsetzen. Dadurch finden wir heraus, dass der Punkt an dem die Tangente anliegt bei x = 2 und y = 0,4 liegt. Wir setzen alles in y = mx + b ein und berechnen damit b = 0,64.

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