Integral aufleiten ( Aufleitung )

In diesem Artikel geht es um das Integral bzw. das Aufleiten. Zur besseren Übersicht sehen wir uns als erstes einmal an, was es mit der Aufleitung überhaupt auf sich hat. Und danach findet ihr Links um die verschiedenen Regeln zu erlernen.

Zunächst ein wichtiger Hinweis: Der Begriff "Aufleiten" ist umgangssprachlich. Er wird von vielen Schülern einfach als das Gegenteil von Ableiten angesehen. In der Mathematik spricht man bei diesem Bereich richtigerweise von Integration bzw. von Integrationsregeln. Dieser Artikel hier richtet sich also mehr an Schüler bzw. Studenten, die sich der Sache von der Umgangssprache her genähert haben.

Integral und aufleiten

Was soll das mit dem Integrieren bzw. Aufleiten überhaupt? Nun, es geht letztlich darum die Fläche unter einer Funktion zu berechnen. Um das zu verstehe, zeige ich euch im Folgenden, was es mit der Summenregel auf sich hat. Ziel ist es, die Fläche unter einer Funktion  zu berechnen. Wir beginnen dabei mit der Untersumme. Schaut euch einmal die folgende Grafik an:

Die Untersumme: In schwarz wird die Funktion dargestellt. Um die Fläche unter dieser zu berechnen, wurden Rechtecke eingezeichnet ( Breite: 2cm ). Wir ihr sicher wisst: Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus Länge mal Breite. Man kann somit die Fläche aller Rechtecke ausrechnen und zusammen addieren. So erhält man die Fläche unter einer Funktion. Allerdings entsteht hier ein kleiner Fehler: Wie ihr sehen könnt, fehlt ein kleines Stück Fläche zwischen den Rechtecken und der Funktion. Es "fehlt" also Fläche. Das war die Untersumme.

Die Obersumme: Als nächstes beschäftigen wir uns mit der Obersumme. Die Vorgehensweise ist sehr ähnlich zur Untersumme. Nur hier werden die Rechtecke etwas größer angesetzt. Werft aber erst einmal einen Blick auf die folgende Grafik:

Es werden also erneut Rechtecke eingezeichnet. Deren Flächeninhalte berechnet sich wie immer aus Länge mal Breite. Und die einzelnen Rechtecke werden zu einer Gesamtsumme addiert. Nur hier ist die Summe größer als die eigentliche Fläche. Somit hat die Untersumme eine Fläche geliefert, die zu klein ist. Die Obersumme hingegen hat eine Fläche geliefert, die zu groß ist. Die richtige Lösung muss also irgendwo dazwischen liegen.

Ober- und Untersumme haben ein "etwas" falsches Ergebnis geliefert. Das richtige Ergebnis - also die richtige Fläche - liegt irgendwo dazwischen. Aber wie bekommt man das richtige Ergebnis raus? Die Antwort ist eigentlich recht einfach: Es müssen mehr Rechtecke eingesetzt werden. Je mehr Rechtecke ihr habt, desto kleiner sind die fehlenden Flächen bzw. die Flächen, die zu groß sind. Ihr nähert euch damit dem "realen" Verlauf der Funktion viel besser an. Habt ihr praktisch unendlich viele Rechtecke, erhaltet ihr das Integral! Und dieses ist die richtige Lösung.

Aber mal ehrlich: Es ist viel zu umständlich, eine riesige Anzahl an Rechtecken einzuzeichnen, deren Fläche zu berechnen und das Ganze auf zu summieren. Aus diesem Grund, haben Mathematiker sich Gedanken gemacht, wie man dies einfacher lösen kann. Die Lösung lautet: Mittels einiger Regeln die Funktion aufleiten und dadurch die Fläche erhalten. Wie diese Integrationsregeln / Aufleitungsregeln funktionieren, lernt ihr ab dem nächsten Abschnitt.

Und um diese Regeln kümmern wir uns in den folgenden Artikeln. Ich empfehle alle zu lesen und zumindest die Beispiele einmal gründlich durchzuarbeiten:

• Elementare Integrationsregeln
• Partielle Integration
• Fläche zwischen Funktionen
• Integration durch Substitution

Links:

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