Kurvenschar berechnen ( Kurvendiskussion )

In diesem Artikel gibt es Erklärungen zu Kurvenscharen. Dabei sehen wir uns auch Kurvendiskussionen inklusive Ableitung an. Zur Verdeutlichung werden Aufgaben vorgerechnet. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Mir Erläuterungen zu Kurvenscharen befassen wir uns in den nächsten Abschnitten. Dabei wird erklärt was eine Kurvenschar ist und eine Kurvendiskussion samt Ableitung durchgeführt. Wer Probleme mit den folgenden Inhalten hat dem helfen vielleicht noch diese Artikel, welche ich für die Kurvenschar als Grundlagen ansehe:

• PQ-Formel
• Quotientenregel
• Kettenregel
• Symmetrie

Erklärung als Video:
Dieses Thema liegt auch als Video vor. In diesem werden entsprechende Beispiele vorgestellt. Per Button kann auch in den Vollbildmodus gewechselt werden. Das Video ist auch direkt in der Sektion Funktionsschar Video aufrufbar. Bei Abspielproblemen hilft der Artikel Video Probleme.

Erklärung: Was ist eine Kurvenschar?

Enthält eine Funktionsgleichung neben einer Gleichungsvariablen noch eine Formvariable, so spricht man von einer Funktionsschar oder auch Kurvenschar. Diese Formvariable kann hier verschiedene Werte annehmen, so dass verschiedene Verläufe der Kurve dabei entstehen. Dadurch kann eine Funktion zum Beispiel breiter / schmaler werden oder nach oben / unten verschoben werden. Setzt man bei y = x² + k für k verschiedene Werte ein, so verschiebt sich der Verlauf hoch bzw. runter. Die folgende Grafik zeigt y = x² + k für k = 0 und k = 1. Die Verschiebung sollte gut zu erkennen sein.

So einfach wie in der Grafik mit y = x² + k ist es bei den meisten Aufgaben nicht . Wir sehen uns gleich ein Beispiel an, das unter anderem Brüche enthält und dadurch schwieriger zu analysieren ist. Je nach Wahl von k sind dann unterschiedliche Verhalten möglich ( abhängig von der Funktion die man untersucht natürlich ). Die Autoren von Prüfungaufgaben Fragen dann regelmäßig wie sich der Kurvenverlauf mit sich änderndem k verhält. Wer sich hier unsicher ist sollte einfach den Verlauf für unterschiedliche k einmal zeichnen und sich dann ansehen wie höhere oder niedrigere k sich auswirken.

Hinweis zur Kurvendiskussion: Im Zuge von Aufgaben bzw. Übungen zu Kurvendiskussionen werden den Schülern bzw. Studenten oft unterschiedliche Aufgabenstellungen vorgesetzt. Manchmal geht es in den Aufgaben darum einen Wendepunkt zu finden, manchmal lässt man dies weg. Bei den folgenden Beispielen sehen wir uns typische Aufgabenstellungen an, weitere sind natürlich möglich.

Beispiel: Kurvendiskussion einer Kurvenschar + Ableitung

Wir haben die Funktion f(x) = ( k · x ) : ( x² + 1 ). Diese soll auf Nullstellen, Pole und Lücken untersucht werden. Wir setzen im Anschluss k = 1. Danach geht es um Symmetrie sowie Hochpunkte und Tiefpunkte. Wir untersuchen das Verhalten am Rande des Definitionsbereichs und legen eine Tangente an x = 2.

Nullstelle, Pol und Lücke:

Um Nullstellen, Pole und Lücken zu finden untersuchen wir den Zähler und Nenner. Wir setzen den Zähler gleich Null. Dieser wird Null, wenn x = 0 ist. Damit haben wir einen Kandidaten für eine Nullstelle ( wissen aber noch nicht mit Sicherheit das es eine Nullstelle ist ). Als nächstes setzen wir den Nenner gleich Null. Da x² + 1 = 0 im reellen nicht lösbar ist, kann der Nenner nicht Null werden. Aus diesem Grund haben wir bei x₁ = 0 eine Nullstelle und es existierten keinerlei Pole oder Lücken.

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie:

Wir untersuchen nun die Funktion auf Symmetrie. Wir setzen k = 1 und sehen uns Achsensymmetrie und Punktsymmetrie zum Ursprung an. Dazu benötigen wir neben f(x) nun erst noch f(-x) und -f(-x). Bei f(-x) tauschen wir einfach x durch -x aus. Und bei -f(-x) setzen zusätzlich noch ein Minus-Zeichen davor. Um auf Achsensymmetrie zu prüfen setzen wir f(x) = f(-x). Bei der Berechnung sehen wir, dass f(x) und f(-x) verschieden sind. Damit liegt keine Achsensymmetrie vor. Punktsymmetrie liegt hingegen vor, da f(x) = -f(-x) ist. Die Rechnungen sehen wie folgt aus:

Extrempunkte:

Als nächstes suchen wir Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion. Dazu leiten wir mit der Quotientenregel die Funktion zweimal ab. Tipp: Wer mit dem Quadrat - also Hoch 2 - des Nenners ein Problem hat, kann diesen auch ausmultiplizieren. Im Anschluss setzen wir die erste Ableitung gleich Null und erhalten x₁ = 1 und x₂ = -1. Diese beiden Werte setzen wir in die zweite Ableitung ein und erhalten dabei einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Die x-Werte der Extremwerte kennen wir bereits, nun suchen wir deren y-Werte. Dazu setzen wir x = 1 und x = -1 in f(x) ein und berechnen jeweils den y-Wert.

Definitionsbereich Ränder:

Wir haben die Funktion bereits auf Pole und Lücken untersucht und keine gefunden. Daher sehen wir uns die Ränder des Definitionsbereichs für Plus und Minus Unendlich an. Prinzipiell kann man sagen, dass der Nenner bei großen Zahlen sehr viel schneller wachsen will als der Zähler, da wir im Nenner x² vorliegen haben gegenüber einem einfachen x im Zähler.

• X gegen plus Unendlich: Zähler und Nenner sind stets positiv. Der Bruch wird mit größer werdendem x immer kleiner und nähert sich daher von oben der x-Achse.
• X gegen minus Unendlich: Der Zähler ist stets negativ, im Nenner quadriert sich das negative Vorzeichen weg. Daher ist der Bruch dann insgesamt negativ und nähert sich von unten der x-Achse.

Tangente ermitteln:

Es soll nun eine Tangente an die Stelle x = 2 gelegt werden. Eine Tangente ist eine Gerade. Und diese hat - wenn man sich an den Unterricht erinnert - die Form y = m · x + b. Wir müssen also m und b rausfinden. Unter m versteht man die Steigung, welche wir über die erste Ableitung rausbekommen. Wir setzen x = 2 in diese ein und erhalten -0,12. Nun brauchen wir den y-Wert, den wir erhalten, indem wir x = 2 in f(x) einsetzen. Dadurch finden wir heraus, dass der Punkt an dem die Tangente anliegt bei x = 2 und y = 0,4 liegt. Wir setzen alles in y = mx + b ein und berechnen damit b = 0,64.

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