Logarithmus / Logarithmieren ( Berechnen )

Mit dem Logarithmus können viele Schüler nicht viel anfangen, und verstehen die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Formen nicht: Was war der natürliche Logarithmus und worum handelt es sich beim dekadischen Logarithmus? Diese Fragen soll der nun folgende Artikel anhand von Beispielen beantworten.

Viele von euch mussten sicher schon Gleichungen oder sogar ganze Gleichungssysteme lösen. Dabei hatte man z.B. eine Gleichung der Form 2 + 5x = 0 nach x aufzulösen. Dies wurde durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gelöst. Aber angenommen, ihr sollt y = 2^x nach x auflösen. Was dann? Die Lösung lautet: Logarithmus anwenden. Genau darum kümmern wir uns in diesem Abschnitt. Doch zuvor solltet ihr sicherstellen, dass ihr die folgenden Themen kennt. Wer mit diesen noch Probleme hat, folgt den Links. Alle anderen können gleich mit dem Logarithmus loslegen.

• Potenzen
• Gleichungen lösen
• Exponentialfunktionen

Logarithmus zur Basis 2: Zweierlogarithmus

Schauen wir uns noch einmal das Beispiel von eben an: y = 2^x. Diese Gleichung soll nun nach x aufgelöst werden. Wir logarithmieren aus diesem Grund die Gleichung. Dies schaut wie folgt aus:

Wie bei jeder Gleichung gilt: Was man links macht, muss man auch rechts machen. Somit wird der Logarithmus auf beiden Seiten angewendet. log₂y = x bedeutet: Der Logarithmus von y zu Basis 2 ist gleich x. Ihr müsst euch also folgendes überlegen: Welche Hochzahl x benötige ich, mit der die Zahl 2 potenziert werden muss, damit man y erhält. Das Beispiel von eben hat den Zweierlogarithmus gezeigt, denn die Basis war eine 2. Sehen wir uns noch ein paar Beispiele zum besseren Verständnis an.

Beispiele:

• log₂16 = 4, denn 2⁴ = 16
• log₂1024 = 10, denn 2¹⁰ = 1024

Weitere Formeln / Rechenregeln

Für den Logarithmus existieren noch eine Reihe weiterer Regeln, die wir euch hier samt Beispiel vorstellen möchten:

Natürlicher und dekadischer Logarithmus

Bevor wir mit dem natürlichen Logarithmus loslegen, erst einmal eine kleine Erinnerung: Eine E-Funktion hat die Form y = e^ax, also zum Beispiel y = e^2x oder y = e^5x. Das e ist die sogenannte eulersche Zahl, welche in vielen Naturwissenschaftlich-Technischen Funktionen auftritt. In der Gleichung gilt e = 2,718.... Wir setzen also nun den gerundeten Wert 2,718 für das e in die Gleichung ein. Alternativ verfügen viele Taschenrechner direkt über "e" um damit zu rechnen.

Wir haben weiter oben im Artikel bereits das Rechnen mit der Basis 2 sowie in den Formeln auch mit allgemeiner Basis gearbeitet (Siehe dazu die Rechenregeln und Beispiele in der Tabelle). In der Mathematik wurden für die Basis 10 und die Basis e noch zwei verschiedene Namen vergeben .

Natürlicher Logarithmus:

Hat man die Basis e, so führt dies zum natürlichen Logarithmus. Dies sieht dann zum Beispiel so aus: y = log_ex. Dafür existiert auch eine abgekürzte Schreibweise y = lnx. Welche Schreibweise ihr bevorzugt, ist euch überlassen (oder wird vom Mathematik-Lehrer vorgegeben).

Merke: log_ex = lnx

Dekadischer Logarithmus:

Hat man hingegen die Basis 10, führt dies zum dekadischen Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus genannt. Die Form: y = log₁₀r. Auch hier existiert eine Abkürzung: lg r.

Merke: log₁₀r = lgr

Mehr zum Logarithmus:

• Logarithmusgleichungen
• Exponentialgleichungen
• Logarithmusgesetze

Weitere Links:

• Zu den Übungsaufgaben Logarithmus
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