Gleichungen + Ungleichungen Übersicht

Mit den Gleichungen und Ungleichungen befassen wir uns in dieser Sektion. In diesem Zusammenhang geht um um das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, Bruchgleichungen, PQ Formel etc. Damit und mit etlichen weiteren Themen der Mathematik befassen wir uns in dieser Rubrik zur Mathematik der Mittelstufe.

Mit etlichen grundlegende Themen der Mathematik befassen wir uns in diesem Artikel. Es folgt dabei zunächst eine Liste an Links zu den jeweiligen Themen. Solltet ihr euch nicht so ganz sicher, was genau ihr sucht, dann findet ihr eine etwas genauere Beschreibung der Inhalte ein Stück tiefer.

Gleichungen und Ungleichungen Themen

• Gleichungen
• Gleichungen lösen
• Gleichungen mit 2 Variablen / Gleichungen mit 2 Unbekannten
• Äquivalenzumformung
• Ungleichungen
• Bruchgleichungen
• Bruchungleichungen
• Lineare Gleichungssysteme
• Quadratische Gleichungen (PQ-Formel)
  • Wurzelsatz von Vieta
• Mitternachtsformel / ABC-Formel
• Binomische Formeln
  • Binomische Formeln Hoch 3, 4, 5 etc.
  • Binomische Formeln Faktorisieren
• Polynomdivision
• Nullstellen berechnen

• Biquadratische Gleichungen
• Wurzelgleichungen
• Exponentialgleichungen
• Logarithmusgleichungen
• Quadratische Ergänzung
• Umkehrfunktion
• Additionstheoreme

• Monom, Binom und Trinom
• Polynom
• Lösungsmenge
• Kongruenz (Zahlentheorie)
  • Istgleich / Gleichheitszeichen mit drei Strichen

Gleichungen und Ungleichungen Details

Gleichungen: Das Lösen von Gleichungen hat schon viele Schüler und Schülerinnen zur Verzweiflung getrieben. Dieser Artikel wird deshalb das Thema Gleichungen ganz von vorne beginnen und Stück für Stück neue Vorgehensweisen liefern, damit ( hoffentlich ) jeder mitkommt. Deshalb beginnen wir mit etwas, dass jeder schon aus der Grundschule kennen müsste, einer Gleichung. Kein Witz! Zum Artikel Gleichungen.

Gleichungen mit 2 Variablen: Was ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen? Die Antwort darauf liefert die folgende Definition: Gleichungen der Form a · x + b · y + c = 0 sowie Gleichungen, die sich durch äquivalentes Umformen in die eben genannte Form bringen lassen, werden als lineare Gleichungen mit zwei Variablen bezeichnet. Mehr unter Gleichungen mit 2 Variablen.

Ungleichungen: Bei Ungleichungen ist die eine Seite der Gleichung meist größer oder kleiner als die andere. Dies wird durch ein "<" ( kleiner ) oder ">" ( größer ) ausgedrückt, so wie dies bereits in der Grundlagen der Mathematik behandelt wurde. Darüber hinaus gibt es ein kleiner-gleich "≤" und ein größer-gleich "≥". Siehe Ungleichungen.

Bruchgleichungen: Bevor wir mit Rechnungen beginnen, sollten zwei wichtige Dinge geklärt werden. 1. Was ist ein Bruchterm und 2. Was ist eine Bruchgleichung? Unter einem Bruchterm versteht man einen Bruch, dessen Nenner - das ist die Zahl unter dem Bruchstrich - eine Variable enthält. Und eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält. Zu den Bruchgleichungen.

Bruchungleichungen: Bevor wir mit Rechnungen beginnen, sollten zwei wichtige Dinge geklärt werden. 1. Was ist ein Bruchterm und 2. Was ist eine Bruchungleichung? Unter einem Bruchterm versteht man einen Bruch, dessen Nenner - das ist die Zahl unter dem Bruchstrich - eine Variable enthält. Und eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält. Siehe dazu den Artikel Bruchungleichungen.

Lineare Gleichungssysteme: Zunächst einmal solltet ihr Wissen, was man unter einem Gleichungssystem mit zwei Variablen überhaupt versteht. Dazu erst einmal ein kleines Beispiel: Ihr geht einkaufen und wisst, dass 6 Äpfel und 12 Birnen besonders guter Qualität 30 Euro kosten. Und ihr wisst, dass 3 Äpfel und 3 Birnen 9 Euro kosten. Die Frage lautet nun: Was kostet ein Apfel oder eine Birne? Siehe Lineare Gleichungssysteme.

Quadratische Gleichungen: Zunächst stellt sich natürlich die Frage: Was ist eine quadratische Gleichung? Nun, dabei handelt es sich um eine Gleichung der Form ax² +bx + c = 0, wobei a, b und c irgendwelche Zahlen sind. Beispiele: 3x² + 5x + 3 = 0 oder x² + 2x + 1 = 0. Siehe Quadratische Gleichungen (PQ-Formel).

Mitternachtsformel: An Gleichungen sollte sich jeder noch erinnern können. Beispiel: 5 + 3 = x. Die Lösung x = 8 ist so schnell zu erkennen. Durch Umformungen von Gleichungen kann man auch durchaus komplizierte Gleichungen lösen. Doch was tut man, wenn eine Gleichung in der Art ax² + bx + c = 0 vorliegt? Die Antwort lautet: Mitternachtsformel anwenden.Siehe dazu Mitternachtsformel / ABC-Formel.

Binomische Formeln: Wer sich mit der Rechnung rund um Klammern auskennt, der braucht die binomischen Formeln eigentlich gar nicht. Denn diese ergeben sich zwangsläufig aus den Rechengesetzen. Warum diese dennoch in der Schule behandelt werden, hat einen einfachen Grund: Sie erleichtern das Leben, denn diese Rechenwege werden häufig einsetzt. Die 3 binomischen Formeln stellen somit eine "Abkürzung" dar. Zu den Binomische Formeln.

Polynomdivision: Die Polynomdivision ist ein Verfahren der Mathematik, um Nullstellen von Polynomen zu berechnen. Die Berechnungsweise ähnelt der schriftlichen Division, die man bereits in der Grundschule kennen gelernt hat. Aus diesem Grund gehen wir im nun Folgenden erst einmal kurz auf die schriftliche Division ein und wenden dieses Wissen dann auf die Polynomdivision an. Siehe Polynomdivision.

Biquadratische Gleichungen: Bevor wir mit dem Lösen einer biquadratischen Gleichung starten, solltet ihr überhaupt erst einmal wissen, was eine biquadratische Gleichung ist. Unter einer biquadratischen Gleichung versteht man eine Gleichung in der Form: x⁴ + px² + q = 0. Mehr unter Biquadratische Gleichungen.

Wurzelgleichungen: Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der sich unter der Wurzel eine Variable befindet. Wie man derartige Aufgaben löst, erfahrt ihr in diesem Artikel. Zuvor solltet ihr jedoch sicher stellen, dass ihre einige Grundkenntnisse besitzt. Wem die folgenden Themen noch nichts sagen, der möge diese bitte erst einmal kurz nachlesen. Alle anderen können sich gleich ans Lösen von Wurzelgleichungen machen. Siehe Wurzelgleichungen.

Exponentialgleichungen: Zum besseren Einstieg in das Gebiet der Exponentialgleichungen findet ihr hier nun ein paar einleitende Worte: Die meisten von euch mussten sicher schon Gleichungen oder sogar ganze Gleichungssysteme lösen. Dabei hatte man z.B. eine Gleichung der Form 2 + 5x = 0 nach x aufzulösen. Dies wurde durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gelöst. Aber angenommen, ihr sollt nun y = 2^x nach x auflösen. Was dann? Zu den Exponentialgleichungen.

Logarithmusgleichungen: Gleichungen, bei denen die Unbekannte nur im Argument von Logarithmusfunktionen auftritt, werden als logarithmische Gleichung oder Logarithmusgleichung bezeichnet. Um diese Logarithmengleichungen nach der Unbekannten aufzulösen, muss eine so genannte Entlogarithmierung durchgeführt werden. Mehr dazu im Artikel Logarithmusgleichungen.

Quadratische Ergänzung: Die quadratische Ergänzung ist in der Mathematik ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, also zum Beispiel x² oder a². Ziel dabei ist es, dass ein quadriertes Binom entsteht. Zu unserem Artikel Quadratische Ergänzung.

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